Uma casca esférica com raios interno e externo rie re, respectivamente, contém componentes internos que dissipam calor. Desse modo, num dado instante, o perfil de temperatura na casca é representado pela seguinte expressão:
onde ré a variável posição radial na casca esférica,
, e
e
são constantes.
Como o fluxo térmico e a taxa de transferência de calor variam com o raio da casca esférica?
Como o fluxo térmico e a taxa de transferência de calor variam com o raio da casca esférica?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma casca esférica com dois raios, interno (
) e externo (
). Dentro dessa casca, tem componentes que geram calor, e a temperatura em qualquer ponto dessa casca depende da posição radial
. A função que descreve essa temperatura é
, onde
e
são constantes. Nosso objetivo aqui é descobrir como o fluxo térmico e a taxa de transferência de calor mudam conforme o raio
varia nessa casca esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo térmico. Na física, o fluxo térmico (
) representa a quantidade de calor que passa por uma área por unidade de tempo. Para calcular isso, usamos a Lei de Fourier da condução de calor, que diz que o fluxo térmico é proporcional ao gradiente de temperatura. Em fórmula:
Aqui,
é a condutividade térmica do material da casca, e
é a derivada da temperatura em relação ao raio
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da temperatura
em relação a
:
Derivando:
Então, substituindo na equação do fluxo térmico:
Isso mostra que o fluxo térmico
varia inversamente com o quadrado do raio
.
Passo 4
Agora, queremos encontrar a taxa de transferência de calor (
). Isso representa a quantidade total de calor que está passando através de uma superfície esférica em um dado instante. Para isso, multiplicamos o fluxo térmico pela área da superfície esférica naquele raio
:
A área de uma esfera é:
Então:
Observamos que o
cancela, deixando a taxa de transferência de calor
independente do raio
.
Resposta
O fluxo térmico na casca esférica varia inversamente com o quadrado do raio, ou seja,
. Já a taxa de transferência de calor permanece constante para qualquer raio
, sendo igual a
.