Uma casca esférica com raios interno e externo rie re, respectivamente, contém componentes internos que dissipam calor. Desse modo, num dado instante, o perfil de temperatura na casca é representado pela seguinte expressão:
onde ré a variável posição radial na casca esférica, , e e são constantes.
Como o fluxo térmico e a taxa de transferência de calor variam com o raio da casca esférica?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma casca esférica com dois raios, interno ( ) e externo ( ). Dentro dessa casca, tem componentes que geram calor, e a temperatura em qualquer ponto dessa casca depende da posição radial . A função que descreve essa temperatura é , onde e são constantes. Nosso objetivo aqui é descobrir como o fluxo térmico e a taxa de transferência de calor mudam conforme o raio varia nessa casca esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo térmico. Na física, o fluxo térmico ( ) representa a quantidade de calor que passa por uma área por unidade de tempo. Para calcular isso, usamos a Lei de Fourier da condução de calor, que diz que o fluxo térmico é proporcional ao gradiente de temperatura. Em fórmula:
Aqui, é a condutividade térmica do material da casca, e é a derivada da temperatura em relação ao raio .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da temperatura em relação a :
Derivando:
Então, substituindo na equação do fluxo térmico:
Isso mostra que o fluxo térmico varia inversamente com o quadrado do raio .

Passo 4

Agora, queremos encontrar a taxa de transferência de calor ( ). Isso representa a quantidade total de calor que está passando através de uma superfície esférica em um dado instante. Para isso, multiplicamos o fluxo térmico pela área da superfície esférica naquele raio :
Áí
A área de uma esfera é:
Então:
Observamos que o cancela, deixando a taxa de transferência de calor independente do raio .

Resposta

O fluxo térmico na casca esférica varia inversamente com o quadrado do raio, ou seja, . Já a taxa de transferência de calor permanece constante para qualquer raio , sendo igual a .

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