Uma casca esférica com raios interno e externo rie re, respectivamente, contém componentes internos que dissipam calor. Desse modo, num dado instante, o perfil de temperatura na casca é representado pela seguinte expressão:
T(r)=C1 / r+C2
onde ré a variável posição radial na casca esférica, ri <= r <= re, e C1 e C2 são constantes.
Como o fluxo térmico e a taxa de transferência de calor variam com o raio da casca esférica?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma casca esférica com dois raios, interno ( ri) e externo ( re). Dentro dessa casca, tem componentes que geram calor, e a temperatura em qualquer ponto dessa casca depende da posição radial r. A função que descreve essa temperatura é T(r) = C1r + C2, onde C1 e C2 são constantes. Nosso objetivo aqui é descobrir como o fluxo térmico e a taxa de transferência de calor mudam conforme o raio r varia nessa casca esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo térmico. Na física, o fluxo térmico ( q) representa a quantidade de calor que passa por uma área por unidade de tempo. Para calcular isso, usamos a Lei de Fourier da condução de calor, que diz que o fluxo térmico é proporcional ao gradiente de temperatura. Em fórmula:
q(r) = -k dTdr
Aqui, k é a condutividade térmica do material da casca, e dTdr é a derivada da temperatura em relação ao raio r.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da temperatura T(r) em relação a r:
T(r) = C1r + C2
Derivando:
dTdr = -C1r^2
Então, substituindo na equação do fluxo térmico:
q(r) = -k (-C1r^2) = k C1r^2
Isso mostra que o fluxo térmico q(r) varia inversamente com o quadrado do raio r.

Passo 4

Agora, queremos encontrar a taxa de transferência de calor ( Phi). Isso representa a quantidade total de calor que está passando através de uma superfície esférica em um dado instante. Para isso, multiplicamos o fluxo térmico pela área da superfície esférica naquele raio r:
Phi(r) = q(r) times Área da superfície Áí
A área de uma esfera é:
A = 4pi r^2
Então:
Phi(r) = k C1r^2 times 4pi r^2 = 4pi k C1
Observamos que o r^2 cancela, deixando a taxa de transferência de calor Phi(r) independente do raio r.

Resposta

O fluxo térmico na casca esférica varia inversamente com o quadrado do raio, ou seja, q(r) = k C1r^2. Já a taxa de transferência de calor permanece constante para qualquer raio r, sendo igual a 4,pi,k,C1.

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