Uma placa de 50 cm de espessura tem um dos seus lados mantidos a 100^circ C e o outro, a 200^circ C. A temperatura no plano central do material é de 140^circ C, e o fluxo de calor através da placa é de 10.000 kcal/(h.m²). Obtenha uma expressão para a condutividade térmica do material em função da temperatura na forma k=(a+b T), em que T é a temperatura em ^circ C. Se a temperatura no plano central fosse 150^circ C, a condutividade térmica poderia ser escrita na forma (a+b T) ?

Passo 1

Vamos resolver um problema de condução de calor em uma placa. A placa tem 50 cm de espessura com um lado aquecido a e o outro a . Sabemos que a temperatura no meio da placa é e o fluxo de calor é de 10.000 kcal/(h·m²). Nosso objetivo é encontrar a expressão para a condutividade térmica em função da temperatura , na forma , onde está em graus Celsius. Além disso, vamos verificar se essa expressão é válida quando a temperatura central for .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a condução de calor em estado estacionário através de um material plano é dada pela Lei de Fourier:
q = -k dTdx
Aqui, é o fluxo de calor, é a condutividade térmica, e é o gradiente de temperatura.

Passo 3

Como a condutividade térmica q = - (a + bT) dTdx depende da temperatura , podemos reescrever como . Substituindo isso na equação de Fourier:

Passo 4

Vamos considerar que a espessura total da placa é . A temperatura varia linearmente do lado frio ( ) para o lado quente ( ), passando pelo ponto central a .

Passo 5

Assumindo que a variação de temperatura é linear, podemos aproximar o gradiente de temperatura dTdx = 200 - 1000,5 = 1000,5 = 200 , °C/m como:

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação de Fourier:
10,000 , kcalh·m^2 = (a + b cdot 140) cdot 200

Passo 7

Resolvendo para a + 140b = 10,000200 = 50 :
a + 140b = 50 (Equação 1)
Então:
çã

Passo 8

Precisamos de outra equação para encontrar a + 150b = 50 e . Usando a condição de que se a temperatura no plano central fosse , a condutividade ainda poderia ser escrita como .
Substituindo na Equação 1:

Passo 9

Agora temos um sistema de duas equações:
a + 140b = 50 (Equação 1) a + 150b = 50 (Equação 2) çãçã
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(a + 150b) - (a + 140b) = 50 - 50 10b = 0 b = 0

Passo 10

Com a + 140 cdot 0 = 50 a = 50 , substituímos na Equação 1:

Passo 11

Portanto, a expressão para a condutividade térmica é:
k = a + bT = 50 + 0 cdot T = 50 , kcal/(h·m·°C)

Resposta

A condutividade térmica do material é constante e igual a . Portanto, mesmo com a temperatura no plano central sendo , a condutividade térmica continua sendo kcal/(h·m·°C), ou seja, pode ser escrita na forma com .

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