Uma placa de 50 cm de espessura tem um dos seus lados mantidos a
e o outro, a
. A temperatura no plano central do material é de
, e o fluxo de calor através da placa é de 10.000 kcal/(h.m²). Obtenha uma expressão para a condutividade térmica do material em função da temperatura na forma
, em que T é a temperatura em
. Se a temperatura no plano central fosse
, a condutividade térmica poderia ser escrita na forma
?
Passo 1
Vamos resolver um problema de condução de calor em uma placa. A placa tem 50 cm de espessura com um lado aquecido a
e o outro a
. Sabemos que a temperatura no meio da placa é
e o fluxo de calor é de 10.000 kcal/(h·m²). Nosso objetivo é encontrar a expressão para a condutividade térmica
em função da temperatura
, na forma
, onde
está em graus Celsius. Além disso, vamos verificar se essa expressão é válida quando a temperatura central for
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a condução de calor em estado estacionário através de um material plano é dada pela Lei de Fourier:
Aqui,
é o fluxo de calor,
é a condutividade térmica, e
é o gradiente de temperatura.
Passo 3
Como a condutividade térmica
depende da temperatura
, podemos reescrever
como
. Substituindo isso na equação de Fourier:
Passo 4
Vamos considerar que a espessura total da placa é
. A temperatura varia linearmente do lado frio (
) para o lado quente (
), passando pelo ponto central a
.
Passo 5
Assumindo que a variação de temperatura é linear, podemos aproximar o gradiente de temperatura
como:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na equação de Fourier:
Passo 7
Resolvendo para
:
Então:
Passo 8
Precisamos de outra equação para encontrar
e
. Usando a condição de que se a temperatura no plano central fosse
, a condutividade ainda poderia ser escrita como
.
Substituindo
na Equação 1:
Passo 9
Agora temos um sistema de duas equações:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Passo 10
Com
, substituímos na Equação 1:
Passo 11
Portanto, a expressão para a condutividade térmica é:
Resposta
A condutividade térmica do material é constante e igual a
. Portanto, mesmo com a temperatura no plano central sendo
, a condutividade térmica continua sendo
kcal/(h·m·°C), ou seja, pode ser escrita na forma
com
.