Uma casca hemisférica não condutora de raio a acha-se uniformemente carregada em sua superfície interna com uma carga total q. Mostre que o campo elétrico no centro de curvatura da casca é E=q /(8 pi varepsilon0 a^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma casca hemisférica não condutora com raio , que está carregada uniformemente na sua superfície interna com uma carga total . Nosso objetivo é mostrar que o campo elétrico no centro de curvatura dessa casca é . Isso envolve conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e a superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma casca hemisférica não condutora. Não condutora quer dizer que as cargas ficam fixas na superfície, e como é uma casca hemisférica, estamos lidando com metade de uma esfera completa. O centro de curvatura é o ponto central de onde a casca está curvada, e queremos calcular o campo elétrico exatamente nesse ponto.

Passo 3

Agora, para calcular o campo elétrico no centro devido a essa distribuição de carga, vamos usar a Lei de Coulomb, que nos diz que o campo elétrico criado por uma carga pontual é dado por:
E = 14 pi varepsilon0 cdot qr^2
onde é a permissividade do vácuo, é a carga e é a distância da carga ao ponto onde queremos calcular o campo.

Passo 4

Mas aqui não temos uma única carga pontual, e sim uma distribuição contínua de carga na casca hemisférica. Para isso, precisamos integrar o campo elétrico gerado por cada elemento de carga na casca. Devido à simetria da casca hemisférica, só precisamos considerar a componente vertical dos campos elétricos, já que as componentes horizontais se cancelam.

Passo 5

Vamos parametrizar a casca usando coordenadas esféricas. Cada elemento de área na casca é:
dA = a^2 sintheta dtheta dphi
e a carga nesse elemento é:
dq = sigma dA
onde sigma = q2 pi a^2 é a densidade superficial de carga. Como a carga está distribuída uniformemente:
(O fator é a área da casca hemisférica).

Passo 6

O campo elétrico devido a cada elemento de carga dE = 14 pi varepsilon0 cdot dqa^2 cdot costheta no centro de curvatura tem uma componente vertical E = integral dE = sigma4 varepsilon0 integral0^2pi dphi integral0^pi/2 costheta sintheta dtheta que é:
Integrando de a e a , temos:

Passo 7

Resolvendo as integrais:
integral0^2pi dphi = 2pi
integral0^pi/2 costheta sintheta dtheta = 12
Então:
E = sigma4 varepsilon0 cdot 2pi cdot 12 = sigma pi4 varepsilon0
Substituindo E = q2 pi a^2 cdot pi4 varepsilon0 = q8 pi varepsilon0 a^2 :

Resposta

Portanto, o campo elétrico no centro de curvatura da casca hemisférica é:
E = q8 pi varepsilon0 a^2

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