Uma casca hemisférica não condutora de raio a acha-se uniformemente carregada em sua superfície interna com uma carga total q. Mostre que o campo elétrico no centro de curvatura da casca é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma casca hemisférica não condutora com raio
, que está carregada uniformemente na sua superfície interna com uma carga total
. Nosso objetivo é mostrar que o campo elétrico no centro de curvatura dessa casca é
. Isso envolve conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e a superposição de campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma casca hemisférica não condutora. Não condutora quer dizer que as cargas ficam fixas na superfície, e como é uma casca hemisférica, estamos lidando com metade de uma esfera completa. O centro de curvatura é o ponto central de onde a casca está curvada, e queremos calcular o campo elétrico exatamente nesse ponto.
Passo 3
Agora, para calcular o campo elétrico no centro devido a essa distribuição de carga, vamos usar a Lei de Coulomb, que nos diz que o campo elétrico criado por uma carga pontual é dado por:
onde
é a permissividade do vácuo,
é a carga e
é a distância da carga ao ponto onde queremos calcular o campo.
Passo 4
Mas aqui não temos uma única carga pontual, e sim uma distribuição contínua de carga na casca hemisférica. Para isso, precisamos integrar o campo elétrico gerado por cada elemento de carga
na casca. Devido à simetria da casca hemisférica, só precisamos considerar a componente vertical dos campos elétricos, já que as componentes horizontais se cancelam.
Passo 5
Vamos parametrizar a casca usando coordenadas esféricas. Cada elemento de área na casca é:
e a carga nesse elemento é:
onde
é a densidade superficial de carga. Como a carga está distribuída uniformemente:
(O fator
é a área da casca hemisférica).
Passo 6
O campo elétrico devido a cada elemento de carga
no centro de curvatura tem uma componente vertical
que é:
Integrando de
a
e
a
, temos:
Passo 7
Resolvendo as integrais:
Então:
Substituindo
:
Resposta
Portanto, o campo elétrico no centro de curvatura da casca hemisférica é:
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