Exe 4) Um determinado material possui condutividade altamente dependente da própria temperatura. Este material foi usado para construir uma parede de 10 cm , isolante térmica de um veículo aeroespacial. A temperatura interna do veículo deve ser de
e a externa de - 270
. Qual o fluxo de calor que este sistema perde? Considere que a condutividade térmica seja
. Sabendo que você vá ter que passar uma semana neste equipamento, qual a potência de aquecimento que você instalaria no módulo? Considere que ele tenha formato cilíndrico com Raio de 1 m e comprimento de 3 m .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de condução térmica onde a condutividade do material depende da própria temperatura. O que a gente precisa fazer é calcular quanto de calor está sendo perdido pela parede isolante do veículo aeroespacial e, depois, determinar qual potência de aquecimento precisamos instalar para manter a temperatura interna estável durante uma semana. Vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e integrar a condutividade que varia com a temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é condução térmica. É o processo pelo qual o calor se transfere através de um material devido à diferença de temperatura. A fórmula básica para condução em regime estacionário (ou seja, quando a temperatura não varia com o tempo) é dada pela Lei de Fourier:
Onde:
-
é o fluxo de calor (em Watts, W), -
é a condutividade térmica (em W/m·K), -
é a área através da qual o calor está sendo transferido (em m²), -
é a diferença de temperatura (em K ou °C), -
é a espessura do material (em metros).
Passo 3
No nosso caso, a condutividade
não é constante, ela depende da temperatura:
. Isso significa que precisamos integrar a condução térmica considerando essa variação. A fórmula adaptada fica:
Vamos resolver essa integral para encontrar
.
Passo 4
Primeiro, vamos identificar os valores dados:
- Espessura da parede,
cm = 0,10 m, - Temperatura interna,
C, - Temperatura externa,
C.
Agora, substituindo
na integral:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de
a
:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 6
Agora, temos:
Para encontrar
:
Portanto, o fluxo de calor perdido é de aproximadamente 332,58 W.
Passo 7
Agora, precisamos calcular a potência de aquecimento necessária para compensar essa perda durante uma semana. Primeiramente, vamos encontrar a energia total perdida em uma semana.
Sabemos que potência
é energia por unidade de tempo. Então, energia
é:
Onde
é o tempo. Como queremos a potência necessária, rearranjamos para:
Vamos calcular
.
Passo 8
Uma semana tem:
Convertendo para segundos (já que potência é em Watts, que são J/s):
Agora, energia total perdida:
Passo 9
Agora, para encontrar a potência média necessária para manter a temperatura, precisamos que essa energia seja fornecida continuamente. Então, a potência de aquecimento
será igual ao fluxo de calor perdido
, ou seja, precisamos de pelo menos 332,58 W para compensar a perda.
No entanto, considerando que o módulo tem formato cilíndrico com raio de 1 m e comprimento de 3 m, podemos verificar se a área influencia nessa potência.
A área superficial de um cilindro é:
Onde:
-
m, -
m.
Calculando:
Agora, o fluxo total de calor será:
Resposta
A potência de aquecimento necessária para compensar a perda de calor no módulo cilíndrico é de aproximadamente 8.364 Watts.
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.
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