Exe 4) Um determinado material possui condutividade altamente dependente da própria temperatura. Este material foi usado para construir uma parede de 10 cm , isolante térmica de um veículo aeroespacial. A temperatura interna do veículo deve ser de 25^circ e a externa de - 270 ^circ C. Qual o fluxo de calor que este sistema perde? Considere que a condutividade térmica seja K=0,0006 T+0,1859. Sabendo que você vá ter que passar uma semana neste equipamento, qual a potência de aquecimento que você instalaria no módulo? Considere que ele tenha formato cilíndrico com Raio de 1 m e comprimento de 3 m .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de condução térmica onde a condutividade do material depende da própria temperatura. O que a gente precisa fazer é calcular quanto de calor está sendo perdido pela parede isolante do veículo aeroespacial e, depois, determinar qual potência de aquecimento precisamos instalar para manter a temperatura interna estável durante uma semana. Vamos usar conceitos de transferência de calor por condução e integrar a condutividade que varia com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é condução térmica. É o processo pelo qual o calor se transfere através de um material devido à diferença de temperatura. A fórmula básica para condução em regime estacionário (ou seja, quando a temperatura não varia com o tempo) é dada pela Lei de Fourier:
Q = K cdot A cdot De
Onde:
  • é o fluxo de calor (em Watts, W),
  • é a condutividade térmica (em W/m·K),
  • é a área através da qual o calor está sendo transferido (em m²),
  • é a diferença de temperatura (em K ou °C),
  • é a espessura do material (em metros).

Passo 3

No nosso caso, a condutividade integralTexterna^Tinterna K(T) , dT = Q cdot L não é constante, ela depende da temperatura: . Isso significa que precisamos integrar a condução térmica considerando essa variação. A fórmula adaptada fica:
Vamos resolver essa integral para encontrar .

Passo 4

Primeiro, vamos identificar os valores dados:
  • Espessura da parede, integral-270^25 (0,0006 cdot T + 0,1859) , dT = Q cdot 0,10 cm = 0,10 m,
  • Temperatura interna, C,
  • Temperatura externa, C.
Agora, substituindo na integral:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral (0,0006 cdot T + 0,1859) , dT = 0,0003 cdot T^2 + 0,1859 cdot T
Agora, avaliamos de [0,0003 cdot (25)^2 + 0,1859 cdot 25] - [0,0003 cdot (-270)^2 + 0,1859 cdot (-270)] a 0,0003 cdot 625 + 0,1859 cdot 25 = 0,1875 + 4,6475 = 4,835 , W/m² :
0,0003 cdot 72900 + 0,1859 cdot (-270) = 21,87 - 50,293 = -28,423 , W/m²
Calculando cada parte:
Para 4,835 - (-28,423) = 33,258 , W/m² :
²
Para :
²
Subtraindo:
²

Passo 6

Agora, temos:
33,258 = Q cdot 0,10
Para encontrar Q = 33,2580,10 = 332,58 , W :
Portanto, o fluxo de calor perdido é de aproximadamente 332,58 W.

Passo 7

Agora, precisamos calcular a potência de aquecimento necessária para compensar essa perda durante uma semana. Primeiramente, vamos encontrar a energia total perdida em uma semana.
Sabemos que potência E = P cdot t é energia por unidade de tempo. Então, energia P = Et é:
Onde é o tempo. Como queremos a potência necessária, rearranjamos para:
Vamos calcular .

Passo 8

Uma semana tem:
7 , dias times 24 , horas/dia = 168 , horas
Convertendo para segundos (já que potência é em Watts, que são J/s):
168 , horas times 3600 , s/hora = 604800 , s
Agora, energia total perdida:
E = Q cdot t = 332,58 , W times 604800 , s = 201.022.384 , J

Passo 9

Agora, para encontrar a potência média necessária para manter a temperatura, precisamos que essa energia seja fornecida continuamente. Então, a potência de aquecimento A = 2pi r (r + h) será igual ao fluxo de calor perdido A = 2pi times 1 times (1 + 3) = 2pi times 4 = 8pi approx 25,13 , m² , ou seja, precisamos de pelo menos 332,58 W para compensar a perda.
No entanto, considerando que o módulo tem formato cilíndrico com raio de 1 m e comprimento de 3 m, podemos verificar se a área influencia nessa potência.
A área superficial de um cilindro é:
Qtotal = Q times A = 332,58 , W/m² times 25,13 , m² approx 8.364 , W
Onde:
  • m,
  • m.
Calculando:
²
Agora, o fluxo total de calor será:
²²

Resposta

A potência de aquecimento necessária para compensar a perda de calor no módulo cilíndrico é de aproximadamente 8.364 Watts.

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