Um disco fino circular de raio a acha-se carregado uniformemente com uma densidade superficial
. Mostre que o campo elétrico num ponto do eixo do disco situado a uma distância r do seu centro é dado por:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um disco fino, circular, com raio
, carregado de maneira uniforme com uma densidade superficial de carga
. O objetivo aqui é mostrar que o campo elétrico
em um ponto ao longo do eixo do disco, a uma distância
do centro, é dado pela fórmula:
Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a integração para campos elétricos gerados por distribuições contínuas de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o disco dividido em pequenos anéis concêntricos. Cada anel tem um raio
e uma espessura infinitesimal
. A ideia é calcular o campo elétrico de cada anel e depois somar (integrar) todos esses campos para obter o campo total devido ao disco.
Passo 3
Para um anel de raio
e largura
, a área é aproximadamente
. Como a densidade superficial de carga é
, a carga desse anel
é:
Esse
vai contribuir para o campo elétrico no ponto
ao longo do eixo do disco.
Passo 4
Sabemos que o campo elétrico devido a um anel de carga em um ponto ao longo do eixo é direcionado ao longo do eixo e dado por:
Onde
é a permissividade do vácuo. Mas, para facilitar, vamos lembrar que:
Aqui, substituímos
por
, já que
é o raio do anel.
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão de
:
Isso simplifica a nossa expressão para o campo de cada anel.
Passo 6
Para encontrar o campo total
do disco, integramos
de
até
:
Fazendo a substituição
,
, a integral fica:
Calculando os limites: