Um disco fino circular de raio a acha-se carregado uniformemente com uma densidade superficial sigma. Mostre que o campo elétrico num ponto do eixo do disco situado a uma distância r do seu centro é dado por: E=[sigma /(2 varepsilon0)][1-r /(a^2+r^2)^1 / 2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um disco fino, circular, com raio E = [sigma2 varepsilon0] [1 - rraiza^2 + r^2] , carregado de maneira uniforme com uma densidade superficial de carga . O objetivo aqui é mostrar que o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo do disco, a uma distância do centro, é dado pela fórmula:
Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a integração para campos elétricos gerados por distribuições contínuas de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o disco dividido em pequenos anéis concêntricos. Cada anel tem um raio e uma espessura infinitesimal . A ideia é calcular o campo elétrico de cada anel e depois somar (integrar) todos esses campos para obter o campo total devido ao disco.

Passo 3

Para um anel de raio dQ = sigma cdot 2pirho , drho e largura , a área é aproximadamente . Como a densidade superficial de carga é , a carga desse anel é:
Esse vai contribuir para o campo elétrico no ponto ao longo do eixo do disco.

Passo 4

Sabemos que o campo elétrico devido a um anel de carga em um ponto ao longo do eixo é direcionado ao longo do eixo e dado por:
dE = 14pivarepsilon0 cdot dQ cdot r(a^2 + r^2)^3/2
Onde dE = dQ cdot r4pivarepsilon0 (rho^2 + r^2)^3/2 é a permissividade do vácuo. Mas, para facilitar, vamos lembrar que:
Aqui, substituímos por , já que é o raio do anel.

Passo 5

Agora, substituímos dE = sigma cdot 2pirho , drho cdot r4pivarepsilon0 (rho^2 + r^2)^3/2 = sigma rho r , drho2varepsilon0 (rho^2 + r^2)^3/2 na expressão de :
Isso simplifica a nossa expressão para o campo de cada anel.

Passo 6

Para encontrar o campo total E = integral0^a sigma rho r2varepsilon0 (rho^2 + r^2)^3/2 , drho do disco, integramos E = sigma r4varepsilon0 integralr^2^a^2 + r^2 u^-3/2 , du = sigma r4varepsilon0 [ -2u^-1/2 ]r^2^a^2 + r^2 de E = sigma r4varepsilon0 ( -2 (1raiza^2 + r^2 - 1raizr^2) ) = sigma2varepsilon0 (1 - rraiza^2 + r^2) até :
Fazendo a substituição , , a integral fica:
Calculando os limites:

Resposta

E = [sigma2 varepsilon0] [1 - rraiza^2 + r^2]

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