Duas cargas positivas estão sobre o eixo dos z com uma delas na origem. Mostre que a variação do campo elétrico a meia distância entre elas é dada por:
onde d é a distância entre as cargas.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos duas cargas positivas alinhadas no eixo
, com uma delas na origem (ou seja, no ponto
). Queremos descobrir como o campo elétrico varia no ponto que está exatamente no meio dessas duas cargas, ou seja, a meia distância entre elas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico gerado por cargas pontuais e derivadas para encontrar a variação desse campo em relação à posição
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as posições das cargas e o ponto onde vamos analisar o campo elétrico. Vamos chamar a distância total entre as duas cargas de
. Então, uma carga
está na origem (
) e a outra está no ponto
. O ponto médio, onde vamos calcular a variação do campo elétrico, está em
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual
em um ponto a uma distância
dela é dado pela fórmula:
Aqui,
é a permissividade do vácuo, uma constante que aparece nas equações de eletrostática. O campo elétrico (
) é vetorial, ou seja, tem direção e sentido.
Passo 4
Vamos calcular o campo elétrico no ponto médio devido a cada uma das cargas:
-
Carga na origem (
): A distância do ponto médio a essa carga é. Então, o campo gerado por essa carga no ponto médio é: A direção desse campo é para cima (na direção positiva de) porque a carga é positiva e o campo sai da carga. -
Carga na posição
: A distância do ponto médio a essa carga também é. Então, o campo gerado por essa carga no ponto médio é: A direção desse campo é para baixo (na direção negativa de) porque a carga é positiva e o campo sai da carga, apontando na direção oposta ao ponto médio.
Passo 5
Agora, vamos somar os campos elétricos vetorialmente no ponto médio. Como um campo aponta para cima e o outro para baixo, eles se subtraem:
Isso mostra que, exatamente no ponto médio, os campos elétricos das duas cargas se anulam.
Passo 6
Para encontrar a variação do campo elétrico em relação a
, ou seja,
, precisamos considerar como o campo elétrico muda quando nos afastamos um pouquinho desse ponto médio ao longo do eixo
.
Passo 7
Vamos imaginar que movemos o ponto de análise uma pequena distância
para cima (
) ou para baixo (
). O campo elétrico devido a cada carga vai mudar conforme a nova distância.
A derivada
representa exatamente essa taxa de variação do campo elétrico com relação a
.
Passo 8
Calculando a derivada, considerando que o campo devido a cada carga é inversamente proporcional ao quadrado da distância, temos:
O sinal negativo indica que a variação do campo está diminuindo na direção considerada.
Resposta
A variação do campo elétrico a meia distância entre as duas cargas é:
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