Duas cargas positivas estão sobre o eixo dos z com uma delas na origem. Mostre que a variação do campo elétrico a meia distância entre elas é dada por: onde d é a distância entre as cargas.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos duas cargas positivas alinhadas no eixo , com uma delas na origem (ou seja, no ponto ). Queremos descobrir como o campo elétrico varia no ponto que está exatamente no meio dessas duas cargas, ou seja, a meia distância entre elas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico gerado por cargas pontuais e derivadas para encontrar a variação desse campo em relação à posição .

Passo 2

Primeiro, vamos definir as posições das cargas e o ponto onde vamos analisar o campo elétrico. Vamos chamar a distância total entre as duas cargas de . Então, uma carga está na origem ( ) e a outra está no ponto . O ponto médio, onde vamos calcular a variação do campo elétrico, está em .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual em um ponto a uma distância dela é dado pela fórmula:
Aqui, é a permissividade do vácuo, uma constante que aparece nas equações de eletrostática. O campo elétrico ( ) é vetorial, ou seja, tem direção e sentido.

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico no ponto médio devido a cada uma das cargas:
  • Carga na origem ( ):
    A distância do ponto médio a essa carga é . Então, o campo gerado por essa carga no ponto médio é:
    A direção desse campo é para cima (na direção positiva de ) porque a carga é positiva e o campo sai da carga.
  • Carga na posição :
    A distância do ponto médio a essa carga também é . Então, o campo gerado por essa carga no ponto médio é:
    A direção desse campo é para baixo (na direção negativa de ) porque a carga é positiva e o campo sai da carga, apontando na direção oposta ao ponto médio.

Passo 5

Agora, vamos somar os campos elétricos vetorialmente no ponto médio. Como um campo aponta para cima e o outro para baixo, eles se subtraem:
Isso mostra que, exatamente no ponto médio, os campos elétricos das duas cargas se anulam.

Passo 6

Para encontrar a variação do campo elétrico em relação a , ou seja, , precisamos considerar como o campo elétrico muda quando nos afastamos um pouquinho desse ponto médio ao longo do eixo .

Passo 7

Vamos imaginar que movemos o ponto de análise uma pequena distância para cima ( ) ou para baixo ( ). O campo elétrico devido a cada carga vai mudar conforme a nova distância.
A derivada representa exatamente essa taxa de variação do campo elétrico com relação a .

Passo 8

Calculando a derivada, considerando que o campo devido a cada carga é inversamente proporcional ao quadrado da distância, temos:
O sinal negativo indica que a variação do campo está diminuindo na direção considerada.

Resposta

A variação do campo elétrico a meia distância entre as duas cargas é:

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