Caso exista, calcule a inversa de
A=[rrr 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1 ]
Agora resolva o sistema linear
[rrr 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1 ][l x y z ]=[r 3 -1 7 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a inversa da matriz e resolver um sistema linear usando essa matriz. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra linear, como cálculo de determinante e inversa de matrizes, além da resolução de sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz A = 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1 possui inversa. Para isso, precisamos calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
A matriz é:

Passo 3

Calculando o determinante de det(A) = 0 cdot (-2) cdot 1 + 1 cdot (-1) cdot (-1) + (-1) cdot 2 cdot 1 - (-1) cdot (-2) cdot (-1) - 0 cdot (-1) cdot 1 - 1 cdot 2 cdot 1 , lembrando que para uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus:
det(A) = 0 + 1 cdot 1 + (-1) cdot 2 - (-1) cdot 2 cdot (-1) - 0 - 2
Simplificando:
det(A) = 0 + 1 - 2 - 2 - 0 - 2 = -5

Passo 4

Como o determinante A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) é diferente de zero, a matriz possui inversa. Agora, vamos calcular a inversa de .
A fórmula para a inversa de uma matriz é:
Onde é a matriz adjunta de .

Passo 5

Vamos calcular a matriz adjunta C11 = (-1)^1+1 cdot -2 & -1 1 & 1 = 1 cdot [(-2)(1) - (-1)(1)] = -2 + 1 = -1 , que é a transposta da matriz dos cofatores de C12 = (-1)^1+2 cdot 2 & -1 -1 & 1 = -1 cdot [(2)(1) - (-1)(-1)] = -1 cdot (2 -1) = -1 .
Primeiro, encontrando os cofatores:
Cofator C13 = (-1)^1+3 cdot 2 & -2 -1 & 1 = 1 cdot [(2)(1) - (-2)(-1)] = 2 - 2 = 0 :
C21 = (-1)^2+1 cdot 1 & -1 1 & 1 = -1 cdot [(1)(1) - (-1)(1)] = -1 cdot (1 +1) = -2
Cofator C22 = (-1)^2+2 cdot 0 & -1 -1 & 1 = 1 cdot [(0)(1) - (-1)(-1)] = 0 -1 = -1 :
C23 = (-1)^2+3 cdot 0 & 1 -1 & 1 = -1 cdot [(0)(1) - (1)(-1)] = -1 cdot (0 +1) = -1
Cofator C31 = (-1)^3+1 cdot 1 & -1 -2 & -1 = 1 cdot [(1)(-1) - (-1)(-2)] = -1 -2 = -3 :
C32 = (-1)^3+2 cdot 0 & -1 2 & -1 = -1 cdot [(0)(-1) - (-1)(2)] = -1 cdot (0 +2) = -2
Cofator C33 = (-1)^3+3 cdot 0 & 1 2 & -2 = 1 cdot [(0)(-2) - (1)(2)] = 0 -2 = -2 :
Cof(A) = -1 & -1 & 0 -2 & -1 & -1 -3 & -2 & -2
Cofator Adj(A) = -1 & -2 & -3 -1 & -1 & -2 0 & -1 & -2 :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Agora, a matriz dos cofatores é:
Então, a adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula da inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 1-5 cdot -1 & -2 & -3 -1 & -1 & -2 0 & -1 & -2 = 15 & 25 & 35 15 & 15 & 25 0 & 15 & 25

Passo 7

Pronto! Agora temos a inversa de A^-1 = 15 & 25 & 35 15 & 15 & 25 0 & 15 & 25 :

Passo 8

Agora, vamos resolver o sistema linear:
A x y z = 3 -1 7
Como temos a inversa de A^-1 A x y z = A^-1 3 -1 7 , podemos multiplicar ambos os lados pela inversa para isolar o vetor I x y z = A^-1 3 -1 7 :
x y z = A^-1 3 -1 7
Sabendo que (matriz identidade), temos:
Então:

Passo 9

Vamos fazer a multiplicação:
x y z = 15 & 25 & 35 15 & 15 & 25 0 & 15 & 25 3 -1 7
Calculando cada elemento:
x = 15 cdot 3 + 25 cdot (-1) + 35 cdot 7 = 35 - 25 + 215 = 225 = 4,4
y = 15 cdot 3 + 15 cdot (-1) + 25 cdot 7 = 35 - 15 + 145 = 165 = 3,2
z = 0 cdot 3 + 15 cdot (-1) + 25 cdot 7 = 0 - 15 + 145 = 135 = 2,6

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 15 & 25 & 35 15 & 15 & 25 0 & 15 & 25 é:
x = 4,4, y = 3,2, z = 2,6
E a solução do sistema linear é:

Exercícios relacionados