Mostre que o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z não tem solução.
rr 4 x+2 y+8 z & =3 6 x-3 y+4 z & =-5 5 x+y+8 z & =1

Passo 1

Estamos lidando com um sistema de equações lineares com três incógnitas ( x, y, z). O objetivo é mostrar que não existe nenhuma combinação de valores para x, y e z que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos utilizar a técnica de eliminação de Gauss, que envolve manipular as equações para encontrar uma contradição, provando assim que o sistema não tem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema de equações em forma de matriz aumentada. Isso facilita o uso de operações elementares para simplificar o sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes das equações:
4 & 2 & 8 & | & 3 6 & -3 & 4 & | & -5 5 & 1 & 8 & | & 1

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde possamos identificar se há uma contradição. Vamos começar fazendo com que o primeiro elemento da primeira linha seja 1. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 4:
1 & 12 & 2 & | & 34 6 & -3 & 4 & | & -5 5 & 1 & 8 & | & 1

Passo 4

Em seguida, queremos que os elementos abaixo do primeiro 1 (na coluna 1) se tornem 0. Para isso, faremos as seguintes operações:
  • Linha 2: Subtrair 6 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtrair 5 vezes a Linha 1 da Linha 3.
Vamos fazer isso passo a passo.
Linha 2:
6 - 6 times 1 = 0 -3 - 6 times 12 = -3 - 3 = -6 4 - 6 times 2 = 4 - 12 = -8 -5 - 6 times 34 = -5 - 184 = -5 - 4.5 = -9.5
Linha 3:
5 - 5 times 1 = 0 1 - 5 times 12 = 1 - 2.5 = -1.5 8 - 5 times 2 = 8 - 10 = -2 1 - 5 times 34 = 1 - 154 = 1 - 3.75 = -2.75
A matriz fica assim:
1 & 12 & 2 & | & 34 0 & -6 & -8 & | & -9.5 0 & -1.5 & -2 & | & -2.75

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os seus elementos por -6 para que o coeficiente de y seja 1:
1 & 12 & 2 & | & 34 0 & 1 & 43 & | & 1912 0 & -1.5 & -2 & | & -2.75

Passo 6

Em seguida, queremos que os elementos abaixo do 1 na coluna 2 (na terceira linha) se tornem 0. Para isso, vamos adicionar 1.5 vezes a Linha 2 à Linha 3:
-1.5 + 1.5 times 1 = 0 -2 + 1.5 times 43 = -2 + 2 = 0 -2.75 + 1.5 times 1912 = -2.75 + 28.512 = -2.75 + 2.375 = -0.375
A matriz fica assim:
1 & 12 & 2 & | & 34 0 & 1 & 43 & | & 1912 0 & 0 & 0 & | & -0.375

Passo 7

Observamos que na terceira linha temos a equação:
0x + 0y + 0z = -0.375
Isso simplifica para:
0 = -0.375
Essa é uma contradição, já que 0 nunca é igual a -0.375. Isso significa que não existe nenhum conjunto de valores para x, y e z que possa satisfazer todas as três equações simultaneamente.

Resposta

O sistema linear não possui solução.

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