Mostre que o seguinte sistema linear nas incógnitas e não tem solução.

Passo 1

Estamos lidando com um sistema de equações lineares com três incógnitas ( , , ). O objetivo é mostrar que não existe nenhuma combinação de valores para , e que satisfaça todas as três equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos utilizar a técnica de eliminação de Gauss, que envolve manipular as equações para encontrar uma contradição, provando assim que o sistema não tem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema de equações em forma de matriz aumentada. Isso facilita o uso de operações elementares para simplificar o sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes das equações:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde possamos identificar se há uma contradição. Vamos começar fazendo com que o primeiro elemento da primeira linha seja 1. Para isso, dividimos toda a primeira linha por 4:

Passo 4

Em seguida, queremos que os elementos abaixo do primeiro 1 (na coluna 1) se tornem 0. Para isso, faremos as seguintes operações:
  • Linha 2: Subtrair 6 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtrair 5 vezes a Linha 1 da Linha 3.
Vamos fazer isso passo a passo.
Linha 2:
Linha 3:
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os seus elementos por -6 para que o coeficiente de seja 1:

Passo 6

Em seguida, queremos que os elementos abaixo do 1 na coluna 2 (na terceira linha) se tornem 0. Para isso, vamos adicionar 1.5 vezes a Linha 2 à Linha 3:
A matriz fica assim:

Passo 7

Observamos que na terceira linha temos a equação:
Isso simplifica para:
Essa é uma contradição, já que 0 nunca é igual a -0.375. Isso significa que não existe nenhum conjunto de valores para , e que possa satisfazer todas as três equações simultaneamente.

Resposta

O sistema linear não possui solução.

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