Determine uma matriz X tal que A X A^-1=B, sendo
A=[ll 4 & 7 3 & 5 ] e B=[ll -2 & 1 -4 & 5 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma matriz tal que , onde e são matrizes dadas. Aqui, estamos lidando com matrizes inversas e multiplicação de matrizes, que são conceitos da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar calcular a inversa da matriz e fazer algumas multiplicações de matrizes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a matriz inversa de det(A) = (4)(5) - (7)(3) = 20 - 21 = -1 , ou seja, A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a . A matriz inversa existe se o determinante de A^-1 = 1-1 5 & -7 -3 & 4 = -5 & 7 3 & -4 for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é (diferente de zero), tem inversa. A fórmula para a matriz inversa de uma matriz é:
Aplicando isso a :

Passo 3

Agora que temos A X A^-1 = B Rightarrow X = A^-1 B A , vamos reorganizar a equação original para resolver A^-1 B = -5 & 7 3 & -4 -2 & 1 -4 & 5 = (-5)(-2) + (7)(-4) & (-5)(1) + (7)(5) (3)(-2) + (-4)(-4) & (3)(1) + (-4)(5) = 10 - 28 & -5 + 35 -6 + 16 & 3 - 20 = -18 & 30 10 & -17 :
X = -18 & 30 10 & -17 4 & 7 3 & 5 = (-18)(4) + (30)(3) & (-18)(7) + (30)(5) (10)(4) + (-17)(3) & (10)(7) + (-17)(5) = -72 + 90 & -126 + 150 40 - 51 & 70 - 85 = 18 & 24 -11 & -15
Então, vamos calcular . Primeiro, multiplicamos por :
Agora, multiplicamos esse resultado por :

Resposta

A matriz X = 18 & 24 -11 & -15 que satisfaz a equação é:

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