Encontre o vetor unitário perpendicular ao plano determinado por A, B, C A(1,1,1), B(2,1,3), C(3,-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor unitário que seja perpendicular ao plano formado pelos pontos , e . Isso envolve os conceitos de vetores no espaço, produto vetorial para achar um vetor perpendicular e normalização para transformar esse vetor em um vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão dentro do plano. Para isso, podemos usar os pontos dados para criar os vetores AB = B - A = (2-1, 1-1, 3-1) = (1, 0, 2) e AC = C - A = (3-1, -1-1, 1-1) = (2, -2, 0) .

Passo 3

Agora, para achar um vetor que seja perpendicular ao plano, vamos calcular o produto vetorial de AB times AC = i & j & k 1 & 0 & 2 2 & -2 & 0 = i(0 cdot 0 - 2 cdot (-2)) - j(1 cdot 0 - 2 cdot 2) + k(1 cdot (-2) - 0 cdot 2) e = i(0 + 4) - j(0 - 4) + k(-2 - 0) = (4, 4, -2) . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois originais.
Então, o vetor perpendicular é .

Passo 4

Agora, precisamos transformar esse vetor perpendicular em um vetor unitário. Para isso, vamos calcular o módulo (ou tamanho) de |N| = raiz4^2 + 4^2 + (-2)^2 = raiz16 + 16 + 4 = raiz36 = 6 .

Passo 5

Com o módulo encontrado, basta dividir cada componente do vetor u = N|N| = ( 46, 46, -26 ) = ( 23, 23, -13 ) pelo seu módulo para obter o vetor unitário.

Resposta

O vetor unitário perpendicular ao plano determinado pelos pontos é .

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