Considere as retas e .
(e) Diga a posição relativa entre e (justificando),

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que trata da posição relativa entre duas retas no espaço tridimensional. O assunto aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como são representadas as retas em forma paramétrica e como comparar seus vetores diretores para determinar se são paralelas, coincidentes, se interceptam ou são chamadas de “escaras” (skew).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas e em forma paramétrica. A equação simétrica de uma reta é dada por:
onde é um ponto na reta e são as componentes do vetor diretor da reta.
Para a reta :
Portanto, a forma paramétrica de é:
Para a reta :
Então, a forma paramétrica de é:

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor é dado pelos coeficientes das variáveis ou nas equações paramétricas.
Para a reta , o vetor diretor é .
Para a reta , o vetor diretor é .

Passo 4

Vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se seus vetores diretores forem múltiplos um do outro, ou seja, se existir um número tal que .
Calculando cada componente:
Como não existe um único valor de que satisfaça todas as componentes, as retas não são paralelas.

Passo 5

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se interceptam. Para isso, precisamos encontrar valores de e que satisfaçam as equações:
Vamos resolver o sistema de equações.
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Agora, substituindo na expressão de :
Por fim, verificamos na equação (3):
Como as equações não são satisfeitas simultaneamente, as retas não se interceptam.

Resposta

As retas e são escaras, ou seja, não são paralelas e não se interceptam.

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