Considere as retas r: x-54=y-33=z-2 e s: x-3=y-12=z+1-1.
(e) Diga a posição relativa entre r e s (justificando),

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que trata da posição relativa entre duas retas no espaço tridimensional. O assunto aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como são representadas as retas em forma paramétrica e como comparar seus vetores diretores para determinar se são paralelas, coincidentes, se interceptam ou são chamadas de “escaras” (skew).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas x - x0a = y - y0b = z - z0c = t e x - 54 = y - 33 = z - 2 = t em forma paramétrica. A equação simétrica de uma reta é dada por:
r: x = 5 + 4t y = 3 + 3t z = 2 + t
onde x - 3 = y - 12 = z + 1-1 = s é um ponto na reta e s: x = 3 + s y = 1 + 2s z = -1 - s são as componentes do vetor diretor da reta.
Para a reta :
Portanto, a forma paramétrica de é:
Para a reta :
Então, a forma paramétrica de é:

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor é dado pelos coeficientes das variáveis 4 3 1 ou 1 2 -1 nas equações paramétricas.
Para a reta , o vetor diretor é .
Para a reta , o vetor diretor é .

Passo 4

Vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se seus vetores diretores forem múltiplos um do outro, ou seja, se existir um número 4 = k cdot 1 Rightarrow k = 4 tal que 3 = k cdot 2 Rightarrow k = 1.5 .
Calculando cada componente:
1 = k cdot (-1) Rightarrow k = -1
Como não existe um único valor de que satisfaça todas as componentes, as retas não são paralelas.

Passo 5

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se interceptam. Para isso, precisamos encontrar valores de 5 + 4t = 3 + s (1) e 3 + 3t = 1 + 2s (2) que satisfaçam as equações:
2 + t = -1 - s (3)
s = 5 + 4t - 3 Rightarrow s = 4t + 2
3 + 3t = 1 + 2(4t + 2) 3 + 3t = 1 + 8t + 4 3 + 3t = 5 + 8t 3 - 5 = 8t - 3t -2 = 5t t = -25
Vamos resolver o sistema de equações.
Da equação (1):
s = 4(-25) + 2 = -85 + 2 = -85 + 105 = 25
Substituindo 2 + (-25) = -1 - (25) 105 - 25 = -55 - 25 85 neq -75 na equação (2):
Agora, substituindo na expressão de :
Por fim, verificamos na equação (3):
Como as equações não são satisfeitas simultaneamente, as retas não se interceptam.

Resposta

As retas e são escaras, ou seja, não são paralelas e não se interceptam.

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