Caso exista, calcule o limite
Passo 1
Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve conceitos de limites em várias variáveis e propriedades da função seno. Para resolver, vamos utilizar a substituição para coordenadas polares e aplicar o Teorema do Sanduíche.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão utilizando coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos que
e
, onde
é a distância ao ponto
e
é o ângulo. Assim,
. Substituindo isso na expressão original, temos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite de quando
tende a 0:
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Passo 4
Multiplicando todos os termos da desigualdade acima por
(que é positivo), mantemos a desigualdade:
Passo 5
Agora, analisamos os limites dos lados dessa desigualdade quando
tende a 0:
Passo 6
Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), se uma função está entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite dessa função também é igual a esse valor. Portanto:
Resposta
O limite é igual a 0.
Exercícios relacionados
Decida sobre a convergência das séries:
Suponha que
esteja definida implicitamente em função de
e
pela equação
Pondo
, determine
e
Uma função diferenciável
tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 5 na direção
e igual a -3 na direção
. Calcule
Demonstre que a série
é convergente, mas não é absolutamente convergente.