Caso exista, calcule o limite

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve conceitos de limites em várias variáveis e propriedades da função seno. Para resolver, vamos utilizar a substituição para coordenadas polares e aplicar o Teorema do Sanduíche.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão utilizando coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos que e , onde é a distância ao ponto e é o ângulo. Assim, . Substituindo isso na expressão original, temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de quando tende a 0:
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:

Passo 4

Multiplicando todos os termos da desigualdade acima por (que é positivo), mantemos a desigualdade:

Passo 5

Agora, analisamos os limites dos lados dessa desigualdade quando tende a 0:

Passo 6

Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), se uma função está entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite dessa função também é igual a esse valor. Portanto:

Resposta

O limite é igual a 0.

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