Decida sobre a convergência das séries: sumn=1^infty(3 n+15 n-2)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente decidir se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é a análise de séries, especificamente o teste da raiz, que nos ajuda a determinar a convergência de séries com termos elevados a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o teste da raiz. Esse teste diz que, para uma série , se calcularmos o limite :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não nos dá uma resposta definitiva.
No nosso caso, cada termo da série é . Vamos aplicar o teste da raiz a essa série.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz, precisamos calcular:
L = limn to infty raiz[n]|(3n+15n-2)^n| = limn to infty 3n+15n-2
Isso porque a raiz enésima de é simplesmente .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite limn to infty 3 + 1n5 - 2n = 3 + 05 - 0 = 35 . Para facilitar, dividimos numerador e denominador por :

Passo 5

Então, chegamos a . Como , de acordo com o teste da raiz, a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados