Decida sobre a convergência das séries:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente decidir se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é a análise de séries, especificamente o teste da raiz, que nos ajuda a determinar a convergência de séries com termos elevados a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o teste da raiz. Esse teste diz que, para uma série , se calcularmos o limite :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não nos dá uma resposta definitiva.
No nosso caso, cada termo da série é . Vamos aplicar o teste da raiz a essa série.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz, precisamos calcular:
Isso porque a raiz enésima de é simplesmente .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite . Para facilitar, dividimos numerador e denominador por :

Passo 5

Então, chegamos a . Como , de acordo com o teste da raiz, a série converge.

Resposta

A série converge.

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