Uma função diferenciável
tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 5 na direção
e igual a -3 na direção
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com cálculo multivariável, mais especificamente com derivadas direcionais e o gradiente de uma função. O que a gente precisa é descobrir o vetor gradiente
da função
no ponto (1,1), usando as informações das derivadas direcionais nas direções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma certa direção é igual ao produto escalar do gradiente da função com o vetor direção unitário. Ou seja,
Onde
é a direção na qual estamos calculando a derivada direcional.
Passo 3
As direções no exercício são
e
. Mas para usar a fórmula da derivada direcional, precisamos que esses vetores sejam unitários, ou seja, que tenham comprimento 1.
Vamos calcular o comprimento de cada vetor:
Para
:
Então, o vetor unitário é:
Para
:
Então, o vetor unitário é:
Passo 4
Agora, sabemos que as derivadas direcionais são 5 e -3 nas direções
e
, respectivamente. Vamos escrever isso usando a fórmula da derivada direcional:
Para
:
Para
:
Passo 5
Vamos chamar o gradiente
de
. Assim, temos:
Para
:
Para
:
Passo 6
Vamos simplificar essas equações multiplicando ambos os lados por 5 para tirar os denominadores:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Passo 7
Agora temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 8
Vamos multiplicar a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para eliminar uma das variáveis:
Multiplicando a primeira equação por 4:
Multiplicando a segunda equação por 3:
Passo 9
Agora, vamos subtrair a segunda equação da primeira:
Passo 10
Com o valor de
encontrado, vamos substituir na primeira equação original para encontrar
:
Resposta
Portanto, o gradiente
é:
Exercícios relacionados
Caso exista, calcule o limite
Decida sobre a convergência das séries:
Demonstre que a série
é convergente, mas não é absolutamente convergente.
Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;