Uma função diferenciável tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 5 na direção e igual a -3 na direção . Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com cálculo multivariável, mais especificamente com derivadas direcionais e o gradiente de uma função. O que a gente precisa é descobrir o vetor gradiente da função no ponto (1,1), usando as informações das derivadas direcionais nas direções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma certa direção é igual ao produto escalar do gradiente da função com o vetor direção unitário. Ou seja,
Onde é a direção na qual estamos calculando a derivada direcional.

Passo 3

As direções no exercício são e . Mas para usar a fórmula da derivada direcional, precisamos que esses vetores sejam unitários, ou seja, que tenham comprimento 1.
Vamos calcular o comprimento de cada vetor:
Para :
Então, o vetor unitário é:
Para :
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

Agora, sabemos que as derivadas direcionais são 5 e -3 nas direções e , respectivamente. Vamos escrever isso usando a fórmula da derivada direcional:
Para :
Para :

Passo 5

Vamos chamar o gradiente de . Assim, temos:
Para :
Para :

Passo 6

Vamos simplificar essas equações multiplicando ambos os lados por 5 para tirar os denominadores:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:

Passo 7

Agora temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 8

Vamos multiplicar a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para eliminar uma das variáveis:
Multiplicando a primeira equação por 4:
Multiplicando a segunda equação por 3:

Passo 9

Agora, vamos subtrair a segunda equação da primeira:

Passo 10

Com o valor de encontrado, vamos substituir na primeira equação original para encontrar :

Resposta

Portanto, o gradiente é:

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e ;