Demonstre que a série
é convergente, mas não é absolutamente convergente.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para mostrar que a série
é convergente, mas não é absolutamente convergente. Isso está ligado ao estudo de séries alternadas e convergência absoluta. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teste da Série Alternada e o conceito de convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a série é convergente utilizando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. é uma sequência decrescente.
  3. .
No nosso caso, , que é positivo porque o seno de um número pequeno é positivo.

Passo 3

Vamos verificar se é decrescente. Sabemos que diminui à medida que aumenta, e o seno de um número menor também é menor. Portanto, é uma sequência decrescente.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Então, o terceiro critério do Teste da Série Alternada é satisfeito.

Passo 5

Como todos os critérios do Teste da Série Alternada são atendidos, podemos concluir que a série
converge.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Queremos ver se essa nova série converge.

Passo 7

Sabemos que, para próximo de 0, é aproximadamente igual a . Assim, podemos aproximar:
Então, a série dos valores absolutos se comporta como a série harmônica:
E sabemos que a série harmônica não converge; ela diverge.

Passo 8

Como a série dos valores absolutos
diverge, concluímos que a série original não é absolutamente convergente.

Resposta

Portanto, a série
é convergente, mas não é absolutamente convergente.

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