Demonstre que a série
é convergente, mas não é absolutamente convergente.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para mostrar que a série
é convergente, mas não é absolutamente convergente. Isso está ligado ao estudo de séries alternadas e convergência absoluta. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teste da Série Alternada e o conceito de convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a série é convergente utilizando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são positivos. -
é uma sequência decrescente. -
.
No nosso caso, , que é positivo porque o seno de um número pequeno é positivo.
Passo 3
Vamos verificar se
é decrescente. Sabemos que
diminui à medida que
aumenta, e o seno de um número menor também é menor. Portanto, é uma sequência decrescente.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Então, o terceiro critério do Teste da Série Alternada é satisfeito.
Passo 5
Como todos os critérios do Teste da Série Alternada são atendidos, podemos concluir que a série
converge.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Queremos ver se essa nova série converge.
Passo 7
Sabemos que, para
próximo de 0, é aproximadamente igual a
. Assim, podemos aproximar:
Então, a série dos valores absolutos se comporta como a série harmônica:
E sabemos que a série harmônica não converge; ela diverge.
Passo 8
Como a série dos valores absolutos
diverge, concluímos que a série original não é absolutamente convergente.
Resposta
Portanto, a série
é convergente, mas não é absolutamente convergente.
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. Calcule
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e
;
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