Suponha que
esteja definida implicitamente em função de
e
pela equação
Pondo
, determine
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que relaciona
,
e
, e o
está definido de forma implícita em função de
e
. O objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que permite calcular derivadas quando as variáveis estão misturadas numa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação que define
:
Essa é a nossa função
.
Passo 3
Agora, para encontrar as derivadas parciais
e
, vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
e
, respectivamente. Isso nos leva a usar a regra da cadeia.
Passo 4
Vamos começar derivando em relação a
. Aplicando a diferenciação:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
mantendo
e
constantes, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Passo 6
Substituindo na equação derivada:
Agora, isolamos
:
Passo 7
Vamos repetir o processo para encontrar
. Derivando
em relação a
:
Passo 8
Calculando as derivadas parciais:
Mas na verdade, de forma mais simplificada:
No entanto, para simplificar, assumindo que
depende de
, então:
Passo 9
Substituindo na equação derivada:
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e