Suponha que esteja definida implicitamente em função de e pela equação Pondo , determine e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que relaciona , e , e o está definido de forma implícita em função de e . O objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais e . Para isso, vamos usar o conceito de **diferenciação implícita**, que permite calcular derivadas quando as variáveis estão misturadas numa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação que define : Essa é a nossa função .

Passo 3

Agora, para encontrar as derivadas parciais e , vamos derivar ambos os lados da equação em relação a e , respectivamente. Isso nos leva a usar a **regra da cadeia**.

Passo 4

Vamos começar derivando em relação a . Aplicando a diferenciação: Aqui, é a derivada de em relação a mantendo e constantes, e é a derivada de em relação a .

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:

Passo 6

Substituindo na equação derivada: Agora, isolamos :

Passo 7

Vamos repetir o processo para encontrar . Derivando em relação a :

Passo 8

Calculando as derivadas parciais: Mas na verdade, de forma mais simplificada: No entanto, para simplificar, assumindo que depende de , então:

Passo 9

Substituindo na equação derivada: Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são: e

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