Suponha que z esteja definida implicitamente em função de x e y pela equação
x z^2+y^2 arctan (y+z)+x y^2=1
Pondo F(x, y, z)=x z^2+y^2 arctan (y+z)+x y^2-1, determine partial z / partial x e partial z / partial y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que relaciona x, y e z, e o z está definido de forma implícita em função de x e y. O objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y. Para isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que permite calcular derivadas quando as variáveis estão misturadas numa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação que define z:
F(x, y, z) = x z^2 + y^2 arctan(y + z) + x y^2 - 1 = 0
Essa é a nossa função F(x, y, z).

Passo 3

Agora, para encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y, vamos derivar ambos os lados da equação F(x, y, z) = 0 em relação a x e y, respectivamente. Isso nos leva a usar a regra da cadeia.

Passo 4

Vamos começar derivando em relação a x. Aplicando a diferenciação:
partial Fpartial x + partial Fpartial z cdot partial zpartial x = 0
Aqui, partial Fpartial x é a derivada de F em relação a x mantendo y e z constantes, e partial Fpartial z é a derivada de F em relação a z.

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
partial Fpartial x = z^2 + y^2
partial Fpartial z = 2x z + y^2 cdot 11 + (y + z)^2 cdot (0 + 1) = 2x z + y^21 + (y + z)^2

Passo 6

Substituindo na equação derivada:
z^2 + y^2 + (2x z + y^21 + (y + z)^2) cdot partial zpartial x = 0
Agora, isolamos partial zpartial x:
partial zpartial x = -z^2 + y^22x z + y^21 + (y + z)^2

Passo 7

Vamos repetir o processo para encontrar partial zpartial y. Derivando F(x, y, z) = 0 em relação a y:
partial Fpartial y + partial Fpartial z cdot partial zpartial y = 0

Passo 8

Calculando as derivadas parciais:
partial Fpartial y = 2y arctan(y + z) + y^2 cdot 11 + (y + z)^2 cdot (1 + partial zpartial y) + 2x y
Mas na verdade, de forma mais simplificada:
partial Fpartial y = 2y arctan(y + z) + y^21 + (y + z)^2 cdot (1 + partial zpartial y) + 2x y
No entanto, para simplificar, assumindo que z depende de y, então:
partial Fpartial y = 2y arctan(y + z) + y^21 + (y + z)^2 cdot 1 + 2x y

Passo 9

Substituindo na equação derivada:
2y arctan(y + z) + y^21 + (y + z)^2 + 2x y + (2x z + y^21 + (y + z)^2) cdot partial zpartial y = 0
Isolando partial zpartial y:
partial zpartial y = -2y arctan(y + z) + y^21 + (y + z)^2 + 2x y2x z + y^21 + (y + z)^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -z^2 + y^22x z + dfracy^21 + (y + z)^2
e
partial zpartial y = -2y arctan(y + z) + dfracy^21 + (y + z)^2 + 2x y2x z + dfracy^21 + (y + z)^2

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