Suponha que esteja definida implicitamente em função de e pela equação
Pondo , determine e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que relaciona , e , e o está definido de forma implícita em função de e . O objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais e . Para isso, vamos usar o conceito de **diferenciação implícita**, que permite calcular derivadas quando as variáveis estão misturadas numa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação que define :
Essa é a nossa função .
Passo 3
Agora, para encontrar as derivadas parciais e , vamos derivar ambos os lados da equação em relação a e , respectivamente. Isso nos leva a usar a **regra da cadeia**.
Passo 4
Vamos começar derivando em relação a . Aplicando a diferenciação:
Aqui, é a derivada de em relação a mantendo e constantes, e é a derivada de em relação a .
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Passo 6
Substituindo na equação derivada:
Agora, isolamos :
Passo 7
Vamos repetir o processo para encontrar . Derivando em relação a :
Passo 8
Calculando as derivadas parciais:
Mas na verdade, de forma mais simplificada:
No entanto, para simplificar, assumindo que depende de , então:
Passo 9
Substituindo na equação derivada:
Isolando :
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e ;
Em que direção a derivada direcional de em é igual a zero?
Decida sobre a convergência das séries:
Caso exista, calcule o limite