Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva , no qual a reta tangente é paralela à: bissetriz

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar os pontos na curva onde a reta tangente é paralela à segunda bissetriz. Para isso, vamos precisar utilizar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e comparar com a inclinação da segunda bissetriz.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Usando a regra de potência, temos:

Passo 3

Agora, vamos identificar a inclinação da segunda bissetriz. A segunda bissetriz é a reta que forma um ângulo de 135 graus com o eixo x, cuja equação é . A inclinação dessa reta é o coeficiente de , ou seja, .

Passo 4

Para encontrar os pontos onde a reta tangente é paralela à segunda bissetriz, igualamos a derivada da função à inclinação da bissetriz:
Simplificando a equação:

Passo 5

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de na função :
Para :
Para :

Resposta

Os pontos são e .

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Determine as derivadas das funções a seguir:
Determine as constantes e de modo que seja derivável: em , sendo
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em e em caso afirmativo, determine :
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