Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em e em caso afirmativo, determine :

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que muda a expressão quando é maior ou menor que 1, e queremos saber se ela tem derivada em . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de derivadas e continuidade. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e verificar se o limite existe nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Basicamente, a função é derivável em se o limite da taxa de variação da função quando se aproxima de existe e é o mesmo vindo da esquerda e da direita. Ou seja:
Aqui, nosso é 1.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela direita ( ) e pela esquerda ( ).
Para :
A função é .
Calculando a derivada pela definição:
Simplificando o numerador:
Então:
Para :
A função é .
Calculando a derivada pela definição:

Passo 4

Agora, comparamos os limites das derivadas pela direita e pela esquerda:
Como esses valores são diferentes, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

A função não é derivável em .

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Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva , no qual a reta tangente é paralela à: bissetriz
Determine as derivadas das funções a seguir:
Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva , no qual a reta tangente é paralela à: bissetriz
Determine supondo e deriváveis e