Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função que muda a expressão quando
é maior ou menor que 1, e queremos saber se ela tem derivada em
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de derivadas e continuidade. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e verificar se o limite existe nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Basicamente, a função é derivável em
se o limite da taxa de variação da função quando
se aproxima de
existe e é o mesmo vindo da esquerda e da direita. Ou seja:
Aqui, nosso
é 1.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela direita (
) e pela esquerda (
).
Para
:
A função é
.
Calculando a derivada pela definição:
Simplificando o numerador:
Então:
Para
:
A função é
.
Calculando a derivada pela definição:
Passo 4
Agora, comparamos os limites das derivadas pela direita e pela esquerda:
Como esses valores são diferentes, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
A função não é derivável em
.
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Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva
, no qual a reta tangente é paralela à:
bissetriz
Determine as derivadas das funções a seguir:
Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva
, no qual a reta tangente é paralela à:
bissetriz
Determine
supondo
e
deriváveis e