Determine as constantes
e
de modo que
seja derivável: em
, sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar as constantes
e
para que essa função seja derivável em
. Isso significa que a função deve ser contínua em
e que as derivadas à esquerda e à direita desse ponto devem ser iguais. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Para isso, o limite da função quando
se aproxima de
pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de
pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Quando
, a função é
. Então, calculamos o limite pela esquerda:
Quando
, a função é
. Calculando o limite pela direita:
Para a continuidade, esses dois limites devem ser iguais:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja derivável em
. Isso significa que as derivadas da função à esquerda e à direita de
devem ser iguais.
Primeiro, encontramos a derivada de
para
:
Então, a derivada pela esquerda em
é:
Agora, encontramos a derivada de
para
:
Portanto, a derivada pela direita em
é:
Para a derivabilidade, as derivadas devem ser iguais:
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelos passos anteriores para encontrar
e
.
Da equação (2):
Substituindo
na equação (1):
Resposta
As constantes que tornam a função derivável em
são:
Exercícios relacionados
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
:
Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é tangente ao gráfico de
. Ilustre a interseção construindo o gráfico.
Determine as derivadas das funções a seguir:
Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva
, no qual a reta tangente é paralela à:
bissetriz