Determine as constantes e de modo que seja derivável: em , sendo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar as constantes e para que essa função seja derivável em . Isso significa que a função deve ser contínua em e que as derivadas à esquerda e à direita desse ponto devem ser iguais. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Para isso, o limite da função quando se aproxima de pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Quando , a função é . Então, calculamos o limite pela esquerda:
Quando , a função é . Calculando o limite pela direita:
Para a continuidade, esses dois limites devem ser iguais:

Passo 3

Agora, vamos garantir que a função seja derivável em . Isso significa que as derivadas da função à esquerda e à direita de devem ser iguais.
Primeiro, encontramos a derivada de para :
Então, a derivada pela esquerda em é:
Agora, encontramos a derivada de para :
Portanto, a derivada pela direita em é:
Para a derivabilidade, as derivadas devem ser iguais:

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pelos passos anteriores para encontrar e .
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):

Resposta

As constantes que tornam a função derivável em são:

Exercícios relacionados

Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em e em caso afirmativo, determine :
Determine a equação da reta que passa pelo ponto e é tangente ao gráfico de . Ilustre a interseção construindo o gráfico.
Determine as derivadas das funções a seguir:
Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva , no qual a reta tangente é paralela à: bissetriz