Caso existam, encontre as equações das assintotas das seguintes funções: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das assintotas da função . Vamos usar conhecimentos de análise de funções racionais para descobrir se existem assintotas verticais, horizontais ou oblíquas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar possíveis assintotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração se aproxima de zero, mas o numerador não se anula no mesmo ponto.

Passo 3

Vamos igualar o denominador a zero e resolver:
Então, os possíveis pontos de assintotas verticais são e .

Passo 4

Agora, vamos verificar se o numerador também é zero nesses pontos:
Para :
Para :
Como o numerador também é zero nesses pontos, não há assintotas verticais aqui.

Passo 5

Agora, vamos procurar por uma assintota horizontal. Para disso, observamos o comportamento da função quando tende ao infinito ou menos infinito. Comparamos os graus do numerador e do denominador.
O grau do numerador é 3 e o do denominador é 4. Já que o grau do denominador é maior, sabemos que:
Isso significa que existe uma assintota horizontal em .

Passo 6

Por último, vamos verificar se há alguma assintota oblíqua. Geralmente, elas ocorrem quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador. No nosso caso, o grau do numerador (3) é menor que o do denominador (4), então não existem assintotas oblíquas.

Resposta

A única assintota da função é a assintota horizontal .

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