Caso existam, encontre as equações das assintotas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas da função
. Isso está relacionado ao estudo das assíntotas em funções, onde a gente analisa o comportamento da função quando
vai para o infinito ou menos infinito. Para resolver, vamos precisar entender como analisar limites e simplificar expressões envolvendo raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são assíntotas. Assíntotas são linhas que a função se aproxima quando
tende a
ou
. Existem três tipos principais:
- Assíntota horizontal: quando a função se aproxima de uma linha horizontal.
- Assíntota vertical: quando a função cresce sem limites em algum ponto específico de
. - Assíntota oblíqua (ou inclinada): quando a função se aproxima de uma linha reta que não é horizontal.
No nosso caso, vamos procurar assíntotas horizontais e oblíquas, já que a função está definida para todos os valores de
.
Passo 3
Vamos começar analisando o comportamento de
quando
vai para
.
Temos:
Para simplificar a expressão dentro da raiz, vamos fatorar
:
Como
está indo para
,
. Assim:
Portanto:
Isso indica que, para
grande,
se comporta como a reta
. Então, essa é uma assíntota oblíqua.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento quando
vai para
.
Usando a mesma expressão:
Mas, como
está indo para
,
. Então:
Portanto:
Isso mostra que, para
muito negativo,
se aproxima de
. Então, temos uma assíntota horizontal
.
Resposta
A função
possui duas assíntotas:
- Assíntota oblíqua:
- Assíntota horizontal:
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Sabendo que
e
, determine os limites abaixo, caso existam:
Encontre o limite ou demostre que não existe