Sabendo que lim x 1 f(x)=0, lim x 1 g(x)=2 e lim x 1 h(x)=-1, determine os limites abaixo, caso existam:
lim x 1[h(x)(g(x))^3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve calcular um limite quando se aproxima de 1. A questão nos dá os limites de três funções diferentes: , e . O conteúdo que vamos usar aqui é o de limites de funções, especificamente como calcular o limite de uma combinação de funções. Vamos precisar saber como calcular limites de produtos e potências de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular o limite de um produto de funções, podemos calcular o limite de cada função individualmente e depois multiplicar os resultados. Também, para potências, podemos calcular o limite da função base e depois elevar ao expoente.

Passo 3

A expressão que precisamos calcular é:
limx to 1 [h(x) cdot (g(x))^3]
Isso é um produto entre e .

Passo 4

Vamos calcular o limite de limx to 1 h(x) = -1 quando se aproxima de 1. A questão já nos diz que:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limx to 1 g(x) = 2 quando ( limx to 1 g(x) )^3 = 2^3 = 8 se aproxima de 1. Conforme informado:
Como temos , vamos elevar esse limite ao cubo:

Passo 6

Agora, multiplicamos os limites que encontramos:
limx to 1 h(x) cdot limx to 1 (g(x))^3 = (-1) cdot 8 = -8

Resposta

limx to 1 [h(x) cdot (g(x))^3] = -8

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