Encontre o limite ou demostre que não existe
lim x -infty 4 x-15 x^2+5 x-2

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o limite quando lim x -infty 4x - 15x^2 + 5x - 2 tende a menos infinito ( ) da função:
Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é a divisão de dois polinômios. Para resolver esse tipo de limite, vamos precisar entender como os termos de maior grau no numerador e no denominador influenciam o comportamento da função quando cresce sem limites negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo de maior grau no numerador e no denominador.
No numerador: lim x -infty 4x5x^2 → o termo de maior grau é (grau 1).
No denominador: → o termo de maior grau é (grau 2).
Quando tende a menos infinito, os termos de menor grau se tornam insignificantes em comparação com os de maior grau. Portanto, podemos simplificar a expressão considerando apenas os termos de maior grau:

Passo 3

Agora, simplificamos a fração:
4x5x^2 = 45x
Aqui, dividimos numerador e denominador por . Isso é válido porque não é zero (estamos considerando tendendo a ).

Passo 4

Agora, vamos analisar a expressão simplificada lim x -infty 45x = 0 quando tende a .
Quando tende a , o denominador tende a . Então, temos uma constante dividida por um número que fica cada vez mais negativo e grande em módulo. Matematicamente:
Porque 4 dividido por um número que cresce sem limites em módulo resulta em zero.

Resposta

lim x -infty 4x - 15x^2 + 5x - 2 = 0

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