Caso existam, encontre as equações das assintotas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações das assíntotas da função . Para isso, vamos utilizar conceitos de assíntotas verticais e horizontais (ou oblíquas), que são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Precisamos analisar onde o denominador é zero e o comportamento da função quando tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as possíveis assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero, pois nesse ponto a função pode “explodir” para mais ou menos infinito. Então, vamos resolver a equação:
Como temos um valor absoluto, precisamos considerar dois casos: quando é positivo ou zero, e quando é negativo.
Passo 3
Caso 1: (ou seja, )
Nesse caso, , então a equação fica:
Vamos resolver essa equação quadrática. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, não há soluções reais nesse caso.
Passo 4
Caso 2: (ou seja, )
Aqui, , então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Como estamos no caso , ambas as soluções e são válidas.
Passo 5
Então, as assíntotas verticais são as linhas e , porque nesses valores a função não está definida e tende ao infinito.
Agora, vamos verificar se existem assíntotas horizontais ou oblíquas. Para isso, analisamos o comportamento da função quando tende a mais ou menos infinito.
Passo 6
Para encontrar assíntotas horizontais ou oblíquas, comparamos os graus do numerador e do denominador. O numerador é de grau 1 e o denominador é de grau 2 (pois domina).
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é .