Verifique se alguma das funções abaixo possui assíntotas. Em caso positivo, determine-as.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a função
e precisamos verificar se ela tem assíntotas. Assíntotas são linhas que a função se aproxima quando
vai para
ou
, ou em pontos onde a função não está definida. Para isso, vamos analisar o comportamento da função nos extremos e onde o denominador pode ser zero.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se há assíntotas verticais. Isso acontece quando o denominador da fração é zero, mas o numerador não é zero no mesmo ponto. Então, vamos resolver
:
Agora, vamos ver o valor do numerador quando
:
Como o denominador é zero e o numerador não, temos uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se há assíntotas horizontais ou oblíquas. Para isso, analisamos o limite da função quando
tende para
e
.
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz:
Para
tendendo a
ou
,
, então:
Assim, a função fica aproximadamente:
Agora, analisamos para
positivo e negativo.
Passo 4
Para
tendendo para
:
Portanto, há uma assíntota horizontal em
.
Para
tendendo para
:
Então, também há uma assíntota horizontal em
.
Resposta
A função
possui:
- Uma assíntota vertical em
- Duas assíntotas horizontais em
e
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Encontre o limite ou demostre que não existe
Sabendo que
e
, determine os limites abaixo, caso existam:
Caso existam, encontre as equações das assintotas das seguintes funções:
Encontre valores para
e
de modo que a função:
seja uma função contínua.