Verifique se alguma das funções abaixo possui assíntotas. Em caso positivo, determine-as.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a função e precisamos verificar se ela tem assíntotas. Assíntotas são linhas que a função se aproxima quando vai para ou , ou em pontos onde a função não está definida. Para isso, vamos analisar o comportamento da função nos extremos e onde o denominador pode ser zero.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se há assíntotas verticais. Isso acontece quando o denominador da fração é zero, mas o numerador não é zero no mesmo ponto. Então, vamos resolver :
Agora, vamos ver o valor do numerador quando :
Como o denominador é zero e o numerador não, temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se há assíntotas horizontais ou oblíquas. Para isso, analisamos o limite da função quando tende para e .
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz:
Para tendendo a ou , , então:
Assim, a função fica aproximadamente:
Agora, analisamos para positivo e negativo.

Passo 4

Para tendendo para :
Portanto, há uma assíntota horizontal em .
Para tendendo para :
Então, também há uma assíntota horizontal em .

Resposta

A função possui:
  • Uma assíntota vertical em
  • Duas assíntotas horizontais em e

Exercícios relacionados

Encontre o limite ou demostre que não existe
Sabendo que e , determine os limites abaixo, caso existam:
Caso existam, encontre as equações das assintotas das seguintes funções:
Encontre valores para e de modo que a função:
seja uma função contínua.