Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função que é definida de três jeitos diferentes, dependendo do valor de . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de e para que essa função seja contínua em todos os pontos. Isso significa que não pode ter “saltos” ou “buracos” quando a gente muda de uma parte da função para outra. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de limites e continuidade. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o ponto onde a função muda de uma parte para outra, que é em . Para garantir que a função seja contínua nesse ponto, o limite da função quando se aproxima de 0 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 0 pela direita.
Limite pela esquerda ():
Aqui, usamos a primeira parte da função: .
Limite pela direita ():
Aqui, usamos a segunda parte da função: .
Para que a função seja contínua em :
Então, descobrimos que .
Passo 3
Agora, vamos analisar outro ponto crítico onde a função muda, que é em . Novamente, precisamos que os limites pela esquerda e pela direita sejam iguais para garantir a continuidade.
Limite pela esquerda ():
Usamos a segunda parte da função: . Sabemos que , então:
Limite pela direita ():
Aqui, usamos a terceira parte da função: .
Para que a função seja contínua em :
Resolvendo para :
Resposta
Os valores que garantem a continuidade da função são e .