Para o caso de fluido com número de Prandtl elevado, vimos que . Para escoamento laminar sobre placa plana isotérmica e , pede-se:
(a) Mostre que o perfil de velocidade para a região de camada limite térmica pode ser aproximado por:
onde é a razão entre as espessuras de camada limite térmica e laminar;
(b) Determine a espessura da camada limite térmica e o coeficiente de transferência de calor para esta situação. Partindo das seguintes relações:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fluido com número de Prandtl bem alto (Pr gg 1), e o enunciado fala sobre o escoamento laminar sobre uma placa plana isotérmica. O que precisamos fazer aqui é:
Parte (a): Mostrar que o perfil de velocidade na camada limite térmica pode ser aproximado pela expressão dada.
Parte (b): Determinar a espessura da camada limite térmica e o coeficiente de transferência de calor usando as relações fornecidas.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre camadas limites em escoamentos laminares, o número de Prandtl e como relacionar velocidade com temperatura nesse contexto.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que é o número de Prandtl (Pr). Ele é uma propriedade adimensional que relaciona a difusividade de momento (viscosidade cinemática) com a difusividade térmica. Matematicamente, é dado por:
Pr = nualpha
onde nu é a viscosidade cinemática e alpha a difusividade térmica. Quando Pr gg 1, significa que a difusividade térmica é muito menor que a difusividade de momento, resultando em uma camada limite térmica muito mais fina que a camada limite de velocidade.
Passo 3
Parte (a): Queremos mostrar que o perfil de velocidade u na camada limite térmica pode ser aproximado por:
uUinfty approx 32 yde
onde phi é a razão entre as espessuras das camadas limite térmica (de) e de velocidade (de), ou seja, phi = de.
Sabemos que em escoamentos laminares sobre placa plana, o perfil de velocidade na camada limite de velocidade é geralmente linear próximo à parede. Como a camada térmica é muito mais fina (de), podemos focar nessa região mais estreita.
Substituindo phi na expressão original, obtemos:
uUinfty approx 32 yde
Isso confirma a aproximação pedida, mostrando que o perfil de velocidade na camada térmica pode ser relacionado à posição y e à espessura da camada limite.
Passo 4
Parte (b): Agora, precisamos determinar a espessura da camada limite térmica (de) e o coeficiente de transferência de calor (h).
Vamos começar com a primeira relação fornecida:
integral0^de
Aqui, k é a condutividade térmica, rho é a densidade, cp é a capacidade térmica a pressão constante, T a temperatura, e Tinfty a temperatura do fluido livre.
Também temos a relação para a distribuição de temperatura:
T - TinftyTs - Tinfty = 1 - 32 yde
E a última relação:
de
onde Rx é o número de Reynolds local.
Passo 5
Primeiro, vamos determinar a espessura da camada limite térmica (de).
Sabendo que phi = de e que para Pr gg 1, temos de, podemos usar a relação entre as espessuras das camadas limite de velocidade e térmica que, para escoamentos laminares, é aproximadamente:
de
Isso nos dá uma forma de expressar de em termos da espessura da camada limite de velocidade e do número de Prandtl.
Passo 6
Agora, vamos calcular o coeficiente de transferência de calor (h). O coeficiente de transferência de calor está relacionado ao gradiente de temperatura na parede, dado por:
h = kde
Substituindo de da etapa anterior:
h = k raizPrde
Isso mostra como h depende da espessura da camada de velocidade e do número de Prandtl.
Passo 7
Por fim, usando a última relação fornecida:
de
Podemos expressar de em termos do número de Reynolds local Rx e da posição x:
de
Isso nos permite calcular de e, consequentemente, h em função de x e Rx.
Resposta
A espessura da camada limite térmica é de e o coeficiente de transferência de calor é h = k raizPrde. Além disso, o perfil de velocidade na camada limite térmica pode ser aproximado por uUinfty approx 32 yde.