Um filme de líquido com espessura contate escoa ao longo de uma placa plana vertical. O líquido atingiu a velocidade terminal de tal modo que está em regime permanente com o equilíbrio entre forças viscosas e peso. A equação de camada limite continua válida, exceto pela consideração de efeitos gravitacionais que precisam ser incluídos, conforme a seguinte relação:
onde cresce na direção descendente, e cresce normal à placa. Assumindo que o gradiente de pressão hidrostática do ar no entorno do filme de líquido é desprezível. Então:
(a) Simplifique a equação para descrever esta situação;
(b) Escreva as condições de contorno para a equação desprezando efeitos de tensão de cisalhamento na interface líquido gás;
© Resolva o perfil de velocidades para o filme de líquido, assumindo conhecido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o escoamento de um filme de líquido com espessura inicial sobre uma placa vertical. Estamos lidando com a mecânica de fluidos, mais especificamente com a equação de camada limite que descreve como a velocidade do líquido varia ao longo da placa. Para resolver essa questão, vamos precisar simplificar a equação de Navier-Stokes para esse cenário, estabelecer as condições de contorno apropriadas e finalmente encontrar o perfil de velocidades do líquido no filme.

Passo 2

a) Simplificando a equação dada
A equação de camada limite fornecida é:
Vamos analisar cada termo:
  • e representam a aceleração convectiva.
  • é o termo relacionado ao gradiente de pressão.
  • é a aceleração da gravidade.
  • é o termo viscoso.
No nosso caso:
  • O escoamento está em regime permanente, então as variações no tempo são nulas.
  • O gradiente de pressão hidrostática do ar é desprezível, então .
  • Como a placa é vertical e o líquido está descendo, a gravidade atua no sentido positivo de .
Com essas considerações, a equação simplifica para:

Passo 3

b) Estabelecendo as condições de contorno
Para resolver a equação simplificada, precisamos definir as condições de contorno. Considerando que estamos desprezando os efeitos de tensão de cisalhamento na interface líquido-gás, temos:
  1. Na superfície da placa ( ):
    • Condição de não deslizamento: a velocidade do líquido coincide com a velocidade da placa. Se a placa está parada, então:
  2. Na interface líquido-gás ( ):
    • A velocidade do líquido na interface com o gás é zero devido à ausência de cisalhamento:
Essas duas condições garantem que o líquido não deslize na placa e que não haja velocidade na interface com o gás, dado que estamos desprezando a tensão de cisalhamento nessa interface.

Passo 4

c) Resolvendo o perfil de velocidades para o filme de líquido
Vamos resolver a equação simplificada:
No regime de fluxo laminar e camada limite, podemos assumir que os termos de aceleração convectiva são desprezíveis comparados aos termos viscosos e gravitacionais. Assim, a equação se simplifica para:
Reorganizando:
Integrando em relação a :
Integrando novamente:
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes e .
  1. Na superfície da placa ( ):
  2. Na interface com o gás ( ):
    Resolvendo para :
Substituindo e na expressão de :
Podemos fatorar:

Resposta

O perfil de velocidades para o filme de líquido é dado por:

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Estime o coeficiente de transferência de calor para escoamento laminar de fluido a e , sobre placa plana a , na posição , de:
(a) Água líquida (pressão atmosférica);
(b) Ar a pressão atmosférica;
© Óleo SAE30.
Para o caso de fluido com número de Prandtl elevado, vimos que . Para escoamento laminar sobre placa plana isotérmica e , pede-se:
(a) Mostre que o perfil de velocidade para a região de camada limite térmica pode ser aproximado por:
onde é a razão entre as espessuras de camada limite térmica e laminar;
(b) Determine a espessura da camada limite térmica e o coeficiente de transferência de calor para esta situação. Partindo das seguintes relações:
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