Um filme de líquido com espessura contate de escoa ao longo de uma placa plana vertical. O líquido atingiu a velocidade terminal de tal modo que está em regime permanente com o equilíbrio entre forças viscosas e peso. A equação de camada limite continua válida, exceto pela consideração de efeitos gravitacionais que precisam ser incluídos, conforme a seguinte relação:
u partial upartial x+v partial upartial y=-1rho d pd x+g+nu partial^2 upartial y^2
onde x cresce na direção descendente, e y cresce normal à placa. Assumindo que o gradiente de pressão hidrostática do ar no entorno do filme de líquido é desprezível. Então:
(a) Simplifique a equação para descrever esta situação;
(b) Escreva as condições de contorno para a equação desprezando efeitos de tensão de cisalhamento na interface líquido gás;
© Resolva o perfil de velocidades para o filme de líquido, assumindo de conhecido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o escoamento de um filme de líquido com espessura inicial de sobre uma placa vertical. Estamos lidando com a mecânica de fluidos, mais especificamente com a equação de camada limite que descreve como a velocidade do líquido varia ao longo da placa. Para resolver essa questão, vamos precisar simplificar a equação de Navier-Stokes para esse cenário, estabelecer as condições de contorno apropriadas e finalmente encontrar o perfil de velocidades do líquido no filme.

Passo 2

a) Simplificando a equação dada
A equação de camada limite fornecida é:
u partial upartial x + v partial upartial y = -1rho dpdx + g + nu partial^2 upartial y^2
Vamos analisar cada termo:
  • u partial upartial x e v partial upartial y representam a aceleração convectiva.
  • -1rho dpdx é o termo relacionado ao gradiente de pressão.
  • g é a aceleração da gravidade.
  • nu partial^2 upartial y^2 é o termo viscoso.
No nosso caso:
  • O escoamento está em regime permanente, então as variações no tempo são nulas.
  • O gradiente de pressão hidrostática do ar é desprezível, então dpdx approx 0.
  • Como a placa é vertical e o líquido está descendo, a gravidade atua no sentido positivo de y.
Com essas considerações, a equação simplifica para:
u partial upartial x + v partial upartial y = g + nu partial^2 upartial y^2

Passo 3

b) Estabelecendo as condições de contorno
Para resolver a equação simplificada, precisamos definir as condições de contorno. Considerando que estamos desprezando os efeitos de tensão de cisalhamento na interface líquido-gás, temos:
  1. Na superfície da placa ( y=0):
    • Condição de não deslizamento: a velocidade do líquido coincide com a velocidade da placa. Se a placa está parada, então: u = 0 em y = 0
  2. Na interface líquido-gás ( y=de):
    • A velocidade do líquido na interface com o gás é zero devido à ausência de cisalhamento: u = 0 em y = de
Essas duas condições garantem que o líquido não deslize na placa e que não haja velocidade na interface com o gás, dado que estamos desprezando a tensão de cisalhamento nessa interface.

Passo 4

c) Resolvendo o perfil de velocidades para o filme de líquido
Vamos resolver a equação simplificada:
u partial upartial x + v partial upartial y = g + nu partial^2 upartial y^2
No regime de fluxo laminar e camada limite, podemos assumir que os termos de aceleração convectiva são desprezíveis comparados aos termos viscosos e gravitacionais. Assim, a equação se simplifica para:
0 = g + nu partial^2 upartial y^2
Reorganizando:
partial^2 upartial y^2 = -gnu
Integrando em relação a y:
partial upartial y = -gnu y + C1
Integrando novamente:
u(y) = -g2 nu y^2 + C1 y + C2
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes C1 e C2.
  1. Na superfície da placa ( y=0):
    u(0) = 0 Rightarrow C2 = 0
  2. Na interface com o gás ( y=de):
    u(de
    Resolvendo para C1:
    C1 = g de
Substituindo C1 e C2 na expressão de u(y):
u(y) = -g2 nu y^2 + g de
Podemos fatorar:
u(y) = g2 nu y (de

Resposta

O perfil de velocidades para o filme de líquido é dado por:
u(y) = g2 nu y (de

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