Um filme de líquido com espessura contate escoa ao longo de uma placa plana vertical. O líquido atingiu a velocidade terminal de tal modo que está em regime permanente com o equilíbrio entre forças viscosas e peso. A equação de camada limite continua válida, exceto pela consideração de efeitos gravitacionais que precisam ser incluídos, conforme a seguinte relação:
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o escoamento de um filme de líquido com espessura inicial sobre uma placa vertical. Estamos lidando com a mecânica de fluidos, mais especificamente com a equação de camada limite que descreve como a velocidade do líquido varia ao longo da placa. Para resolver essa questão, vamos precisar simplificar a equação de Navier-Stokes para esse cenário, estabelecer as condições de contorno apropriadas e finalmente encontrar o perfil de velocidades do líquido no filme.
Passo 2
a) Simplificando a equação dada
A equação de camada limite fornecida é:
Vamos analisar cada termo:
e representam a aceleração convectiva.
é o termo relacionado ao gradiente de pressão.
é a aceleração da gravidade.
é o termo viscoso.
No nosso caso:
O escoamento está em regime permanente, então as variações no tempo são nulas.
O gradiente de pressão hidrostática do ar é desprezível, então .
Como a placa é vertical e o líquido está descendo, a gravidade atua no sentido positivo de .
Com essas considerações, a equação simplifica para:
Passo 3
b) Estabelecendo as condições de contorno
Para resolver a equação simplificada, precisamos definir as condições de contorno. Considerando que estamos desprezando os efeitos de tensão de cisalhamento na interface líquido-gás, temos:
Na superfície da placa ():
Condição de não deslizamento: a velocidade do líquido coincide com a velocidade da placa. Se a placa está parada, então:
Na interface líquido-gás ():
A velocidade do líquido na interface com o gás é zero devido à ausência de cisalhamento:
Essas duas condições garantem que o líquido não deslize na placa e que não haja velocidade na interface com o gás, dado que estamos desprezando a tensão de cisalhamento nessa interface.
Passo 4
c) Resolvendo o perfil de velocidades para o filme de líquido
Vamos resolver a equação simplificada:
No regime de fluxo laminar e camada limite, podemos assumir que os termos de aceleração convectiva são desprezíveis comparados aos termos viscosos e gravitacionais. Assim, a equação se simplifica para:
Reorganizando:
Integrando em relação a :
Integrando novamente:
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes e .
Na superfície da placa ():
Na interface com o gás ():
Resolvendo para :
Substituindo e na expressão de :
Podemos fatorar:
Resposta
O perfil de velocidades para o filme de líquido é dado por: