Um filme de líquido com espessura contate
escoa ao longo de uma placa plana vertical. O líquido atingiu a velocidade terminal de tal modo que está em regime permanente com o equilíbrio entre forças viscosas e peso. A equação de camada limite continua válida, exceto pela consideração de efeitos gravitacionais que precisam ser incluídos, conforme a seguinte relação:
onde
cresce na direção descendente, e
cresce normal à placa. Assumindo que o gradiente de pressão hidrostática do ar no entorno do filme de líquido é desprezível. Então:
(a) Simplifique a equação para descrever esta situação;
(b) Escreva as condições de contorno para a equação desprezando efeitos de tensão de cisalhamento na interface líquido gás;
© Resolva o perfil de velocidades para o filme de líquido, assumindo
conhecido.
(a) Simplifique a equação para descrever esta situação;
(b) Escreva as condições de contorno para a equação desprezando efeitos de tensão de cisalhamento na interface líquido gás;
© Resolva o perfil de velocidades para o filme de líquido, assumindo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o escoamento de um filme de líquido com espessura inicial
sobre uma placa vertical. Estamos lidando com a mecânica de fluidos, mais especificamente com a equação de camada limite que descreve como a velocidade do líquido varia ao longo da placa. Para resolver essa questão, vamos precisar simplificar a equação de Navier-Stokes para esse cenário, estabelecer as condições de contorno apropriadas e finalmente encontrar o perfil de velocidades do líquido no filme.
Passo 2
a) Simplificando a equação dada
A equação de camada limite fornecida é:
Vamos analisar cada termo:
-
e representam a aceleração convectiva. -
é o termo relacionado ao gradiente de pressão. -
é a aceleração da gravidade. -
é o termo viscoso.
No nosso caso:
- O escoamento está em regime permanente, então as variações no tempo são nulas.
- O gradiente de pressão hidrostática do ar é desprezível, então
. - Como a placa é vertical e o líquido está descendo, a gravidade atua no sentido positivo de
.
Com essas considerações, a equação simplifica para:
Passo 3
b) Estabelecendo as condições de contorno
Para resolver a equação simplificada, precisamos definir as condições de contorno. Considerando que estamos desprezando os efeitos de tensão de cisalhamento na interface líquido-gás, temos:
-
Na superfície da placa (
): - Condição de não deslizamento: a velocidade do líquido coincide com a velocidade da placa. Se a placa está parada, então:
- Condição de não deslizamento: a velocidade do líquido coincide com a velocidade da placa. Se a placa está parada, então:
-
Na interface líquido-gás (
): - A velocidade do líquido na interface com o gás é zero devido à ausência de cisalhamento:
- A velocidade do líquido na interface com o gás é zero devido à ausência de cisalhamento:
Essas duas condições garantem que o líquido não deslize na placa e que não haja velocidade na interface com o gás, dado que estamos desprezando a tensão de cisalhamento nessa interface.
Passo 4
c) Resolvendo o perfil de velocidades para o filme de líquido
Vamos resolver a equação simplificada:
No regime de fluxo laminar e camada limite, podemos assumir que os termos de aceleração convectiva são desprezíveis comparados aos termos viscosos e gravitacionais. Assim, a equação se simplifica para:
Reorganizando:
Integrando em relação a
:
Integrando novamente:
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes
e
.
-
Na superfície da placa (
): -
Na interface com o gás (
): Resolvendo para:
Substituindo
e
na expressão de
:
Podemos fatorar:
Resposta
O perfil de velocidades para o filme de líquido é dado por: