Uma partícula de massa m e vetor posição r move-se no potencial coulombiano ou gravitacional V=-kr, onde r=|r|. (a) Mostre que o vetor de Laplace-Runge-Lenz
A=p times L-m k r
é constante de movimento, onde L=r times p é o momento angular. (b) Mostre que A está contido no plano da órbita. © Tomando o produto escalar de A por r, deduza a equação da órbita. Sugestão: Mostre que r cdot(p times L)=L cdot L. (d) Mostre que a excentricidade é dada por e=Am k e que A aponta ao longo do eixo maior da órbita elíptica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! O enunciado fala sobre uma partícula se movendo num potencial coulombiano ou gravitacional, que é dado por , onde . A matéria que vamos usar aqui envolve conceitos de mecânica clássica, como vetores de movimento, momento angular, e o vetor de Laplace-Runge-Lenz. Vamos precisar entender como esses vetores se relacionam e como provar certas propriedades deles.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que o vetor de Laplace-Runge-Lenz dAdt = ddt (p times L) - m k drdt é constante de movimento.
Para isso, precisamos calcular a derivada temporal de e mostrar que ela é zero. Sabemos que é o momento angular, que também pode ser expresso como , onde é a velocidade.
A derivada de será:
Sabemos que e que a derivada do momento angular (porque o torque é zero em um potencial central).
Após simplificar e substituir os valores, concluímos que , então é constante de movimento.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que está contido no plano da órbita.
Como é o momento angular, ele é perpendicular ao plano de movimento da partícula. O produto vetorial também será perpendicular a , ou seja, estará no plano da órbita. Além disso, está no plano da órbita. Portanto, , que é uma combinação linear de vetores no plano da órbita, também estará nesse plano.

Passo 4

Vamos agora derivar a equação da órbita tomando o produto escalar de A cdot r = (p times L) cdot r - m k r cdot r por r cdot (p times L) = L cdot L = L^2 .
Calculando L^2 - m k r = A cdot r :
r = L^2m k 11 + e cos theta
A sugestão é mostrar que . Sabemos que , então:
Substituindo de volta:
Rearranjando:
Essa é a equação da órbita, onde é a excentricidade e é o ângulo polar.

Passo 5

Por último, vamos mostrar que a excentricidade r = L^2m k 11 + e cos theta é dada por e = Am k e que aponta ao longo do eixo maior da órbita elíptica.
A partir da equação da órbita que derivamos:
Comparando com a forma padrão da elipse, vemos que:
Isso significa que determina a excentricidade da órbita. Além disso, como está no plano da órbita e aponta na direção do eixo maior, ele define a orientação da elipse no espaço.

Resposta

A excentricidade da órbita é e o vetor de Laplace-Runge-Lenz aponta ao longo do eixo maior da órbita elíptica.

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