Uma partícula de massa
e vetor posição
move-se no potencial coulombiano ou gravitacional
, onde
. (a) Mostre que o vetor de Laplace-Runge-Lenz
é constante de movimento, onde
é o momento angular. (b) Mostre que
está contido no plano da órbita. © Tomando o produto escalar de
por
, deduza a equação da órbita. Sugestão: Mostre que
. (d) Mostre que a excentricidade é dada por
e que
aponta ao longo do eixo maior da órbita elíptica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! O enunciado fala sobre uma partícula se movendo num potencial coulombiano ou gravitacional, que é dado por
, onde
. A matéria que vamos usar aqui envolve conceitos de mecânica clássica, como vetores de movimento, momento angular, e o vetor de Laplace-Runge-Lenz. Vamos precisar entender como esses vetores se relacionam e como provar certas propriedades deles.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que o vetor de Laplace-Runge-Lenz
é constante de movimento.
Para isso, precisamos calcular a derivada temporal de
e mostrar que ela é zero. Sabemos que
é o momento angular, que também pode ser expresso como
, onde
é a velocidade.
A derivada de
será:
Sabemos que
e que a derivada do momento angular
(porque o torque é zero em um potencial central).
Após simplificar e substituir os valores, concluímos que
, então
é constante de movimento.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
está contido no plano da órbita.
Como
é o momento angular, ele é perpendicular ao plano de movimento da partícula. O produto vetorial
também será perpendicular a
, ou seja, estará no plano da órbita. Além disso,
está no plano da órbita. Portanto,
, que é uma combinação linear de vetores no plano da órbita, também estará nesse plano.
Passo 4
Vamos agora derivar a equação da órbita tomando o produto escalar de
por
.
Calculando
:
A sugestão é mostrar que
. Sabemos que
, então:
Substituindo de volta:
Rearranjando:
Essa é a equação da órbita, onde
é a excentricidade e
é o ângulo polar.
Passo 5
Por último, vamos mostrar que a excentricidade
é dada por
e que
aponta ao longo do eixo maior da órbita elíptica.
A partir da equação da órbita que derivamos:
Comparando com a forma padrão da elipse, vemos que:
Isso significa que
determina a excentricidade da órbita. Além disso, como
está no plano da órbita e aponta na direção do eixo maior, ele define a orientação da elipse no espaço.
Resposta
A excentricidade da órbita é
e o vetor de Laplace-Runge-Lenz
aponta ao longo do eixo maior da órbita elíptica.
Exercícios relacionados
Na chamada Mecânica Generalizada as lagrangianas contém derivadas nas coordenadas generalizadas de ordem superior à primeira. Dada uma lagrangiana da forma
: (a) Mostre que o princípio de Hamilton, com variação nula de
e
nos extremos temporais, dá lugar às equações de Lagrange na forma
(b) Mostre que a lagrangiana
gera a equação de movimento de um oscilador harmônico. Prove que esta lagrangiana difere da lagrangiana usual de um oscilador harmônico por uma derivada total em relação ao tempo.
No caso holônomo a técnica dos multiplicadores de Lagrange é dispensável em princípio, já que é possível escolher coordenadas generalizadas em termos das quais as equações de vínculo são identicamente satisfeitas. No entanto, na discussão de certas questões teóricas gerais é frequentemente vantajoso tratar vínculos holônomos pela técnica dos multiplicadores de Lagrange. Dados os vínculos holônomos
e
, considere a nova lagrangiana
definida por
Introduzindo as variáveis independentes
, onde as
primeiras definem as coordenadas generalizadas e as
últimas os multiplicadores de Lagrange. Prove que as equações de movimento e as equações de vínculo podem ser escritas na forma unificada
Prove que o trabalho virtual total das forças generalizadas de vínculo é zero. Isto mostra que mesmo no caso de vínculos não-holônomos o princípio de Hamilton está em harmonia com o princípio de d
Considere o sistemas de duas massas conectados por um fio inextensível tal que a massa
se move sem atrito sobre a mesa horizontal e a massa
, pendurada através de um furo no centro da mesa, só pode movimentar-se verticalmente. Use o método dos multiplicadores de Lagrange para obter as equações de movimento do sistema e a tensão no fio.