Uma partícula de massa
e vetor posição
move-se no potencial coulombiano ou gravitacional
, onde
. (a) Mostre que o vetor de Laplace-Runge-Lenz
é constante de movimento, onde
é o momento angular. (b) Mostre que
está contido no plano da órbita. © Tomando o produto escalar de
por
, deduza a equação da órbita. Sugestão: Mostre que
. (d) Mostre que a excentricidade é dada por
e que
aponta ao longo do eixo maior da órbita elíptica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! O enunciado fala sobre uma partícula se movendo num potencial coulombiano ou gravitacional, que é dado por
, onde
. A matéria que vamos usar aqui envolve conceitos de mecânica clássica, como vetores de movimento, momento angular, e o vetor de Laplace-Runge-Lenz. Vamos precisar entender como esses vetores se relacionam e como provar certas propriedades deles.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que o vetor de Laplace-Runge-Lenz
é constante de movimento.
Para isso, precisamos calcular a derivada temporal de
e mostrar que ela é zero. Sabemos que
é o momento angular, que também pode ser expresso como
, onde
é a velocidade.
A derivada de
será:
Sabemos que
e que a derivada do momento angular
(porque o torque é zero em um potencial central).
Após simplificar e substituir os valores, concluímos que
, então
é constante de movimento.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
está contido no plano da órbita.
Como
é o momento angular, ele é perpendicular ao plano de movimento da partícula. O produto vetorial
também será perpendicular a
, ou seja, estará no plano da órbita. Além disso,
está no plano da órbita. Portanto,
, que é uma combinação linear de vetores no plano da órbita, também estará nesse plano.
Passo 4
Vamos agora derivar a equação da órbita tomando o produto escalar de
por
.
Calculando
:
A sugestão é mostrar que
. Sabemos que
, então:
Substituindo de volta:
Rearranjando:
Essa é a equação da órbita, onde
é a excentricidade e
é o ângulo polar.
Passo 5
Por último, vamos mostrar que a excentricidade
é dada por
e que
aponta ao longo do eixo maior da órbita elíptica.
A partir da equação da órbita que derivamos:
Comparando com a forma padrão da elipse, vemos que:
Isso significa que
determina a excentricidade da órbita. Além disso, como
está no plano da órbita e aponta na direção do eixo maior, ele define a orientação da elipse no espaço.
Resposta
A excentricidade da órbita é
e o vetor de Laplace-Runge-Lenz
aponta ao longo do eixo maior da órbita elíptica.