Caso lambda^2-omega^2=0, a soluçâo tem a forma
x(t)=e^-lambda t(c1+c2 t)
A partir da sua resposta para o item (e) mostre esta afirmaçio. Consegue pensar em uma aplicação prática para um oscilador que apresente este comportamento?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre soluções de equações diferenciais. A questão nos dá que lambda^2-omega^2=0 e pede para mostrar que a solução tem a forma x(t)=e^-lambda t(c1+c2 t). Além disso, temos que pensar em uma aplicação prática para um oscilador com esse comportamento. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar o caso de raízes reais e iguais.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma equação diferencial típica de segundo grau com coeficientes constantes pode ser escrita como:
d^2xdt^2 + 2lambda dxdt + omega^2x = 0
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma x(t) = e^rt, onde r é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo x(t) = e^rt na equação diferencial, temos:
r^2e^rt + 2lambda re^rt + omega^2e^rt = 0
Podemos dividir ambos os lados por e^rt (que nunca é zero), ficando:
r^2 + 2lambda r + omega^2 = 0
Esta é a equação característica da equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^2 + 2lambda r + omega^2 = 0
O discriminante dessa equação é $\Delta = (2\lambda)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \omega^{2} = 4\lambda^{2} - 4\omega^{2} = 4(\lambda^{2} - \omega^{2})
]
De acordo com o enunciado, De, então , então .

Passo 5

Quando o discriminante De, temos raízes reais e iguais, ou seja, r = -lambda. Nesse caso, a solução geral da equação diferencial é:
x(t) = e^rt(c1 + c2 t) = e^-lambda t(c1 + c2 t)
Isso confirma que a solução tem a forma pedida no enunciado.

Passo 6

Agora, pensando em uma aplicação prática para um oscilador que apresente esse comportamento, podemos considerar um sistema de massa-mola com amortecimento crítico. No amortecimento crítico, o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, e a solução apresenta a forma x(t) = e^-lambda t(c1 + c2 t). Esse tipo de amortecimento é desejável em aplicações como sistemas de suspensão de veículos, onde queremos que o carro volte rapidamente à posição estável sem oscilações excessivas após um impacto.

Resposta

A solução para o caso lambda^2-omega^2=0 é x(t)=e^-lambda t(c1+c2 t). Uma aplicação prática desse comportamento ocorre em sistemas de amortecimento crítico, como a suspensão de veículos, que retornam ao equilíbrio sem oscilações.

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