Caso
, a soluçâo tem a forma
A partir da sua resposta para o item (e) mostre esta afirmaçio. Consegue pensar em uma aplicação prática para um oscilador que apresente este comportamento?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre soluções de equações diferenciais. A questão nos dá que
e pede para mostrar que a solução tem a forma
. Além disso, temos que pensar em uma aplicação prática para um oscilador com esse comportamento. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar o caso de raízes reais e iguais.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma equação diferencial típica de segundo grau com coeficientes constantes pode ser escrita como:
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo
na equação diferencial, temos:
Podemos dividir ambos os lados por
(que nunca é zero), ficando:
Esta é a equação característica da equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação característica:
O discriminante dessa equação é $\Delta = (2\lambda)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \omega^{2} = 4\lambda^{2} - 4\omega^{2} = 4(\lambda^{2} - \omega^{2})
]
]
De acordo com o enunciado,
, então
.
Passo 5
Quando o discriminante
, temos raízes reais e iguais, ou seja,
. Nesse caso, a solução geral da equação diferencial é:
Isso confirma que a solução tem a forma pedida no enunciado.
Passo 6
Agora, pensando em uma aplicação prática para um oscilador que apresente esse comportamento, podemos considerar um sistema de massa-mola com amortecimento crítico. No amortecimento crítico, o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, e a solução apresenta a forma
. Esse tipo de amortecimento é desejável em aplicações como sistemas de suspensão de veículos, onde queremos que o carro volte rapidamente à posição estável sem oscilações excessivas após um impacto.
Resposta
A solução para o caso
é
. Uma aplicação prática desse comportamento ocorre em sistemas de amortecimento crítico, como a suspensão de veículos, que retornam ao equilíbrio sem oscilações.
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e
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