Caso
, onde
é uma constante, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
, onde
é uma constante real. O objetivo é mostrar que
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Sabemos que
, onde
. Pela regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Agora, calculamos
. Como
, derivando em relação a
:
Então, substituindo na expressão da derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando novamente a regra da cadeia:
Calculando
:
Então, substituindo na expressão da derivada:
Passo 4
Agora, vamos montar a expressão que queremos provar ser igual a zero:
Perceba que os termos se cancelam: