Caso z=f(x+c y), onde c in R é uma constante, mostre que c partial zpartial x-partial zpartial y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função , onde é uma constante real. O objetivo é mostrar que . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = f'(u) cdot partial upartial x em relação a partial upartial x = 1 , ou seja, partial zpartial x = f'(x + c y) cdot 1 = f'(x + c y) .
Sabemos que , onde . Pela regra da cadeia, a derivada de em relação a é:
Agora, calculamos . Como , derivando em relação a :
Então, substituindo na expressão da derivada:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = f'(u) cdot partial upartial y em relação a partial upartial y = c , ou seja, partial zpartial y = f'(x + c y) cdot c = c f'(x + c y) .
Usando novamente a regra da cadeia:
Calculando :
Então, substituindo na expressão da derivada:

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão que queremos provar ser igual a zero:
c partial zpartial x - partial zpartial y = c cdot f'(x + c y) - c f'(x + c y)
Perceba que os termos se cancelam:
c f'(x + c y) - c f'(x + c y) = 0

Resposta

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