Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
com as condições de contorno
e
. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e condições de contorno. Precisamos encontrar uma solução que atenda à equação e respeite as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
Isso nos mostra que a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Vamos supor que essa solução particular tenha a forma:
onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Para que a igualdade seja válida para todos os valores de
, os coeficientes dos termos de
e
devem ser iguais:
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar
e
.
Primeiro, para
:
Passo 8
Em seguida, para
:
Sabendo que
,
e
:
Resposta
Como as condições de contorno levam a uma contradição (
), não existe solução para o problema de valores de contorno dado.