y'' + 4y = cos(x), y(0) = 0, y(pi) = 0ãçã

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com as condições de contorno e . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e condições de contorno. Precisamos encontrar uma solução que atenda à equação e respeite as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
Isso nos mostra que a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Vamos supor que essa solução particular tenha a forma:
onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 4

Calculamos as derivadas de :
Substituindo e na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Para que a igualdade seja válida para todos os valores de , os coeficientes dos termos de e devem ser iguais:
Então, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar e .
Primeiro, para :

Passo 8

Em seguida, para :
Sabendo que , e :

Resposta

Como as condições de contorno levam a uma contradição ( ), não existe solução para o problema de valores de contorno dado.

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