Use uma forma apropriada da Regra da Cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t.
d) w=e^x^2 y, x=raizs t, y=1t.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos a função , onde e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Vamos começar encontrando partial wpartial s = partial wpartial x cdot partial xpartial s + partial wpartial y cdot partial ypartial s . Primeiro, identificamos como depende de através de e . A Regra da Cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:

Passo 3

Calculando cada uma dessas derivadas:
  1. Derivada de partial wpartial x = partialpartial x e^x^2 y = e^x^2 y cdot 2x y em relação a x = raizs t Rightarrow partial xpartial s = 12 (s t)^-1/2 cdot t = t2 raizs t = raizt2 raizs :
partial wpartial y = partialpartial y e^x^2 y = e^x^2 y cdot x^2
  1. Derivada de y = 1t Rightarrow partial ypartial s = 0 (pois y não depende de s) em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
ã

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
partial wpartial s = e^x^2 y cdot 2x y cdot raizt2 raizs + e^x^2 y cdot x^2 cdot 0
Simplificando:
partial wpartial s = e^x^2 y cdot x y cdot raizt raizs

Passo 5

Agora, vamos calcular partial wpartial t = partial wpartial x cdot partial xpartial t + partial wpartial y cdot partial ypartial t usando a Regra da Cadeia:

Passo 6

Calculando cada uma dessas derivadas:
  1. Derivada de x = raizs t Rightarrow partial xpartial t = 12 (s t)^-1/2 cdot s = s2 raizs t = raizs2 raizt em relação a y = 1t Rightarrow partial ypartial t = -1t^2 :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 7

Substituindo essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
partial wpartial t = e^x^2 y cdot 2x y cdot raizs2 raizt + e^x^2 y cdot x^2 cdot (-1t^2)
Simplificando:
partial wpartial t = e^x^2 y cdot x y cdot raizs raizt - e^x^2 y cdot x^2t^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial s = e^x^2 y cdot x y cdot raizt raizs
e
partial wpartial t = e^x^2 y cdot x y cdot raizs raizt - e^x^2 y cdot x^2t^2

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