Use uma forma apropriada da Regra da Cadeia para determinar
.
d)
.
d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos a função
, onde
e
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Vamos começar encontrando
. Primeiro, identificamos como
depende de
através de
e
. A Regra da Cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
Passo 3
Calculando cada uma dessas derivadas:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular
usando a Regra da Cadeia:
Passo 6
Calculando cada uma dessas derivadas:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 7
Substituindo essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
e