Use uma forma apropriada da Regra da Cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t.
f) z=ln (x^2+1), x=scos(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar uma forma adequada da Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A equação que temos é e . Então, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e a Regra da Cadeia, que é uma maneira de derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. A regra diz que:

Passo 3

Vamos calcular partial zpartial x = 1x^2+1 cdot 2x = 2xx^2+1 . A função em termos de é . A derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular partial xpartial s = cos(t) . Sabemos que . Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos partial zpartial s = 2xx^2+1 cdot cos(t) e na expressão da Regra da Cadeia:

Passo 6

Lembrando que partial zpartial s = 2s cos(t)(s cos(t))^2+1 cdot cos(t) = 2s cos^2(t)s^2 cos^2(t) + 1 , podemos substituir na expressão acima:

Passo 7

Agora, vamos encontrar partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t usando a Regra da Cadeia:

Passo 8

Já sabemos que partial xpartial t = -s sin(t) . Agora, vamos calcular . Derivando em relação a :

Passo 9

Substituindo partial zpartial t = 2xx^2+1 cdot (-s sin(t)) = -2s x sin(t)x^2+1 e na Regra da Cadeia:

Passo 10

Finalmente, substituímos partial zpartial t = -2s (s cos(t)) sin(t)(s cos(t))^2+1 = -2s^2 cos(t) sin(t)s^2 cos^2(t) + 1 na expressão acima:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 2s cos^2(t)s^2 cos^2(t) + 1
e
partial zpartial t = -2s^2 cos(t) sin(t)s^2 cos^2(t) + 1

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