Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente decidir se o conjunto de vetores é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre combinações lineares de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser LI ou LD.
Linearmente Independente (LI): Os vetores não podem ser escritos como uma combinação linear uns dos outros. Ou seja, a única solução para a equação é e .
Linearmente Dependente (LD): Pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Existe uma solução onde pelo menos um dos coeficientes ( ou ) não é zero.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos nossos vetores e . Queremos ver se existem constantes e , não ambas zero, que façam:
Isso fica:
Que dá as equações:
→
→
Passo 4
Da primeira equação, já vimos que . Substituindo isso na segunda equação:
Então, a única solução é e . Isso significa que não existe uma combinação não trivial (onde pelo menos um coeficiente não é zero) que faça os vetores resultarem no vetor zero.
Passo 5
Como a única solução é a trivial (, ), concluímos que os vetores são linearmente independentes (LI).
Resposta
O conjunto de vetores é linearmente independente (LI).