Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
(0,0,1),(1,1,1),(1,1,2)

Passo 1

Beleza, a gente tem que ver se o conjunto de vetores (0,0,1),(1,1,1),(1,1,2) é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa os vetores serem LI ou LD e como verificar isso usando combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um conjunto de vetores é Linearmente Independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se for possível expressar um vetor como uma combinação dos outros, então o conjunto é Linearmente Dependente.

Passo 3

Vamos testar se um desses vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros. Vamos tentar ver se o terceiro vetor (1,1,2) pode ser escrito como uma combinação dos dois primeiros (0,0,1) e (1,1,1).
Isso significa que queremos encontrar números a e b tais que:
a cdot (0,0,1) + b cdot (1,1,1) = (1,1,2)

Passo 4

Vamos montar as equações para cada componente:
0a + 1b = 1 (componente x) 0a + 1b = 1 (componente y) 1a + 1b = 2 (componente z)

Passo 5

Resolvendo as duas primeiras equações, temos b = 1. Agora, substituindo b = 1 na terceira equação:
a + 1 = 2 implies a = 1

Passo 6

Encontramos que a = 1 e b = 1, então:
1 cdot (0,0,1) + 1 cdot (1,1,1) = (1,1,2)
Isso mostra que o vetor (1,1,2) é uma combinação linear dos dois primeiros vetores.

Resposta

O conjunto de vetores é Linearmente Dependente. O vetor (1,1,2) pode ser escrito como a soma dos vetores (0,0,1) e (1,1,1):
(1,1,2) = 1 cdot (0,0,1) + 1 cdot (1,1,1)

Exercícios relacionados

Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
(0,1),(1,1),(2,3)
Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
(0,1),(1,1)
Verifique se o subconjunto S do espaço com produto interno V é ortogonal. Quais desses conjuntos são ortonormais?
V=R^3 com o produto interno usual, S=(0,1,1),(1,1,0).
Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
b) Se |u|=|v|, então u=v.