Verifique se é possível escrever o vetor v como combinação linear dos outros vetores dados:
v=(1,2,4), v1=(1,0,0), v2=(0,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se dá para escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Isso faz parte do conteúdo de combinações lineares na álgebra linear. Para resolver isso, a gente vai precisar encontrar coeficientes (vamos chamar de e ) que satisfaçam a equação .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da combinação linear usando os vetores dados:
(1, 2, 4) = a cdot (1, 0, 0) + b cdot (0, 1, 2)
Agora, vamos distribuir os coeficientes (1, 2, 4) = (a cdot 1 + b cdot 0, a cdot 0 + b cdot 1, a cdot 0 + b cdot 2) e (1, 2, 4) = (a, , b, , 2b) nos vetores:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores. Isso nos dá um sistema de equações:
1 = a 2 = b 4 = 2b
Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação, já temos que .
  2. Da segunda equação, .
  3. Vamos verificar a terceira equação com o valor de : , que confirma que tudo está certo.

Resposta

Sim, é possível escrever o vetor v = 1 cdot v1 + 2 cdot v2 como combinação linear dos vetores e usando e . Ou seja,

Exercícios relacionados

Exiba um ponto e um vetor diretor de cada uma das retas a seguir.
lx=2 t, y=-1, z=2-t, t in R.
Verifique se o subconjunto S do espaço com produto interno V é ortogonal. Quais desses conjuntos são ortonormais?
V=R^3 com o produto interno usual, S=(0,1,0),(0,0,1).
Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
(0,1),(1,1)
Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
(0,1),(1,1),(2,3)