Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre independência linear! A gente tem o conjunto de vetores
e precisamos decidir se eles são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Se forem LD, vamos mostrar como um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se isso não for possível, o conjunto é linearmente dependente.
Para verificar isso, vamos tentar encontrar escalares
,
e
(não todos zero) tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Então, temos:
Isso significa que existe uma solução não trivial (com
) para
,
e
, o que indica que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 4
Agora, vamos expressar um dos vetores como uma combinação linear dos outros. Vamos escolher, por exemplo, o vetor
.
Sabemos que:
Substituindo
e
, e escolhendo
, temos:
Então:
Resposta
Os vetores
são linearmente dependentes. O vetor
pode ser escrito como a combinação linear dos outros vetores:
Exercícios relacionados
Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
Verifique se é possível escrever o vetor
como combinação linear dos outros vetores dados:
.
Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
Verifique se o subconjunto
do espaço com produto interno
é ortogonal. Quais desses conjuntos são ortonormais?
com o produto interno usual,
.