Verifique se o subconjunto S do espaço com produto interno V é ortogonal. Quais desses conjuntos são ortonormais?
V=R^3 com o produto interno usual, S=(0,1,1),(1,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o subconjunto do espaço com produto interno é ortogonal e identificar quais desses conjuntos são ortonormais.
Matéria envolvida:
  • Espaço com Produto Interno: Aqui, estamos falando de com o produto interno usual, que basicamente é o produto escalar.
  • Conjunto Ortogonal: Um conjunto de vetores é ortogonal se todos os pares distintos de vetores no conjunto são perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles é zero.
  • Conjunto Ortonormal: Além de ser ortogonal, um conjunto é ortonormal se todos os vetores têm norma (comprimento) igual a 1.
O que vamos precisar:
  1. Calcular o produto escalar entre os vetores de para verificar a ortogonalidade.
  2. Calcular a norma de cada vetor para verificar se são unitários, garantindo a ortonormalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores no conjunto S = v1, v2 = (0,1,1), (1,1,0) :

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 e v1 cdot v2 = (0)(1) + (1)(1) + (1)(0) = 0 + 1 + 0 = 1 . O produto escalar de dois vetores e em é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 4

Agora, vamos analisar o resultado do produto escalar:
  • Se , os vetores são ortogonais.
  • Se , os vetores não são ortogonais.
No nosso caso, , então os vetores não são ortogonais.

Passo 5

Mesmo que o conjunto ||a|| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2 não seja ortogonal, vamos verificar se existem subconjuntos de ||v1|| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2 que são ortonormais.
Para que um conjunto seja ortonormal, além de ser ortogonal, todos os vetores devem ter norma igual a 1. Vamos calcular a norma de cada vetor.
A norma de um vetor ||v2|| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2 é dada por:
Calculando para e :

Passo 6

Como as normas de e são iguais a e não 1, os vetores não são unitários. Portanto, o conjunto não é ortonormal.
No entanto, se normalizarmos os vetores, ou seja, se dividirmos cada vetor pela sua norma, poderíamos obter um conjunto ortonormal. Mas, como o exercício pede para analisar o conjunto dado, concluímos que não é ortonormal.

Resposta

O conjunto não é ortogonal e, portanto, nenhum dos seus conjuntos é ortonormal.

Exercícios relacionados

Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
(0,0,1),(1,1,1),(1,1,2)
Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
(0,1),(1,1),(2,3)
Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
b) Se |u|=|v|, então u=v.
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação lang<=, rang<= é um produto interno no espaço vetorial V.
V=R^4, u=(x1, y1, z1, t1), v=(x2, y2, z2, t2) e lang<= u, vrang<==x1 x2+y1 y2+z1 z2-t1 t2.