Verifique se o subconjunto
do espaço com produto interno
é ortogonal. Quais desses conjuntos são ortonormais?
com o produto interno usual,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o subconjunto
do espaço com produto interno
é ortogonal e identificar quais desses conjuntos são ortonormais.
Matéria envolvida:
- Espaço com Produto Interno: Aqui, estamos falando de
com o produto interno usual, que basicamente é o produto escalar. - Conjunto Ortogonal: Um conjunto de vetores é ortogonal se todos os pares distintos de vetores no conjunto são perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles é zero.
- Conjunto Ortonormal: Além de ser ortogonal, um conjunto é ortonormal se todos os vetores têm norma (comprimento) igual a 1.
O que vamos precisar:
- Calcular o produto escalar entre os vetores de
para verificar a ortogonalidade. - Calcular a norma de cada vetor para verificar se são unitários, garantindo a ortonormalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores no conjunto
:
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar entre
e
. O produto escalar de dois vetores
e
em
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 4
Agora, vamos analisar o resultado do produto escalar:
- Se
, os vetores são ortogonais. - Se
, os vetores não são ortogonais.
No nosso caso,
, então os vetores não são ortogonais.
Passo 5
Mesmo que o conjunto
não seja ortogonal, vamos verificar se existem subconjuntos de
que são ortonormais.
Para que um conjunto seja ortonormal, além de ser ortogonal, todos os vetores devem ter norma igual a 1. Vamos calcular a norma de cada vetor.
A norma de um vetor
é dada por:
Calculando para
e
:
Passo 6
Como as normas de
e
são iguais a
e não 1, os vetores não são unitários. Portanto, o conjunto
não é ortonormal.
No entanto, se normalizarmos os vetores, ou seja, se dividirmos cada vetor pela sua norma, poderíamos obter um conjunto ortonormal. Mas, como o exercício pede para analisar o conjunto
dado, concluímos que
não é ortonormal.
Resposta
O conjunto
não é ortogonal e, portanto, nenhum dos seus conjuntos é ortonormal.
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Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
b) Se , então
.
b) Se
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação
,
é um produto interno no espaço vetorial
.
e
.