Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
(1,0,0),(1,1,1),(2,2,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre álgebra vetorial, especificamente sobre independência linear (IL) e dependência linear (DL). A gente vai analisar o conjunto de vetores para ver se eles são linearmente independentes ou dependentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa esses termos e como aplicar as técnicas para determinar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são vetores linearmente independentes (LI) e linearmente dependentes (LD). Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Por outro lado, é LD se pelo menos um vetor pode ser expresso como combinação linear dos demais.

Passo 3

Para verificar se os vetores são LI ou LD, vamos montar uma combinação linear igual a zero:
a(1,0,0) + b(1,1,1) + c(2,2,2) = (0,0,0)
Isso nos dá o sistema de equações:
a + b + 2c = 0 0 + b + 2c = 0 0 + b + 2c = 0

Passo 4

Observamos que as segunda e terceira equações são iguais:
b + 2c = 0
E a primeira equação é:
a + b + 2c = 0

Passo 5

Vamos resolver o sistema. Da segunda equação, podemos isolar b = -2c :
a + (-2c) + 2c = 0 a = 0
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Com 0(1,0,0) + (-2c)(1,1,1) + c(2,2,2) = (0,0,0) e , temos que:
Isso mostra que existem infinitas soluções para , o que significa que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 7

Agora, vamos expressar um dos vetores como combinação linear dos outros. Vamos escolher o vetor (2,2,2) = a(1,0,0) + b(1,1,1) . Sabemos que:
(2,2,2) = 0(1,0,0) + 2(1,1,1)
Com e , temos:

Resposta

Os vetores (2,2,2) = 0 cdot (1,0,0) + 2 cdot (1,1,1) são linearmente dependentes. Um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros, por exemplo:

Exercícios relacionados

Determinar uma base ortonormal para cada um dos subespaços vetorias W do espaço com produto interno V abaixo, utilizando o processo de Gram-Schmidt.
V=R^3 com o produto interno usual, W=[(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1)].
Verifique se é possível escrever o vetor v como combinação linear dos outros vetores dados:
v=(3,4), v1=(1,2), v2=(2,4).
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação lang<=, rang<= é um produto interno no espaço vetorial V.
V=M2 times 2(R), A, B in M2 times 2(R) e lang<= A, Brang<==tr(A^t B), em que tr(A)=sumi=1^n ai i, forall A in Mn times n(R) é o traço de A.
Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
(0,1,0),(2,0,1),(0,1,2),(2,3,4)