Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre álgebra vetorial, especificamente sobre independência linear (IL) e dependência linear (DL). A gente vai analisar o conjunto de vetores para ver se eles são linearmente independentes ou dependentes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa esses termos e como aplicar as técnicas para determinar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são vetores linearmente independentes (LI) e linearmente dependentes (LD). Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Por outro lado, é LD se pelo menos um vetor pode ser expresso como combinação linear dos demais.
Passo 3
Para verificar se os vetores são LI ou LD, vamos montar uma combinação linear igual a zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Observamos que as segunda e terceira equações são iguais:
b + 2c = 0
E a primeira equação é:
a + b + 2c = 0
Passo 5
Vamos resolver o sistema. Da segunda equação, podemos isolar b = -2c :
a + (-2c) + 2c = 0 a = 0
Substituindo na primeira equação:
Passo 6
Com 0(1,0,0) + (-2c)(1,1,1) + c(2,2,2) = (0,0,0) e , temos que:
Isso mostra que existem infinitas soluções para , o que significa que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 7
Agora, vamos expressar um dos vetores como combinação linear dos outros. Vamos escolher o vetor (2,2,2) = a(1,0,0) + b(1,1,1) . Sabemos que:
(2,2,2) = 0(1,0,0) + 2(1,1,1)
Com e , temos:
Resposta
Os vetores (2,2,2) = 0 cdot (1,0,0) + 2 cdot (1,1,1) são linearmente dependentes. Um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros, por exemplo: