Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação lang<=, rang<= é um produto interno no espaço vetorial V.
V=M2 times 2(R), A, B in M2 times 2(R) e lang<= A, Brang<==tr(A^t B), em que tr(A)=sumi=1^n ai i, forall A in Mn times n(R) é o traço de A.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar.
Estamos no espaço vetorial das matrizes 2x2 com entradas reais, . Queremos verificar se a aplicação , onde o traço ( ) de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal, é um produto interno nesse espaço. Para isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma função que atribui um número real a cada par de vetores, respeitando certas propriedades:
  1. Simetria: para todos .
  2. Linearidade: É linear em cada um dos argumentos.
  3. Positividade: para todo , e somente se for o vetor nulo.
Vamos verificar se a aplicação dada satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Simetria: Precisamos ver se .
Calculando e . Sabemos que para qualquer matriz, , pois o traço de uma matriz é igual ao traço da sua transposta. Portanto, a simetria é satisfeita.

Passo 4

Linearidade: Vamos verificar se a aplicação é linear em cada argumento. Isso significa que, para fixar um dos argumentos, a função deve ser linear no outro.
Por exemplo, para fixar lang<= A, B + C rang<= = tr(A^t (B + C)) = tr(A^t B + A^t C) = tr(A^t B) + tr(A^t C) = lang<= A, B rang<= + lang<= A, C rang<= , temos:
lang<= A, kB rang<= = tr(A^t (kB)) = k,tr(A^t B) = k,lang<= A, B rang<=
Além disso, para qualquer escalar :
O mesmo se aplica quando fixamos e variamos . Portanto, a linearidade é satisfeita.

Passo 5

Positividade: Precisamos mostrar que e que somente se for a matriz nula.
Calculando . A matriz é uma matriz produto que sempre tem entradas não negativas na diagonal, pois cada elemento da diagonal é a soma dos quadrados das entradas correspondentes de . Assim, o traço, que é a soma desses elementos, será sempre não negativo. Além disso, somente se todas as entradas de forem zero, ou seja, é a matriz nula.

Resposta

A aplicação é um produto interno no espaço vetorial .

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