Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação
,
é um produto interno no espaço vetorial
.
e
, em que
é o traço de
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar.
Estamos no espaço vetorial das matrizes 2x2 com entradas reais,
. Queremos verificar se a aplicação
, onde o traço (
) de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal, é um produto interno nesse espaço. Para isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma função que atribui um número real a cada par de vetores, respeitando certas propriedades:
- Simetria:
para todos . - Linearidade: É linear em cada um dos argumentos.
- Positividade:
para todo , e somente se for o vetor nulo.
Vamos verificar se a aplicação dada satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Simetria: Precisamos ver se
.
Calculando
e
. Sabemos que para qualquer matriz,
, pois o traço de uma matriz é igual ao traço da sua transposta. Portanto, a simetria é satisfeita.
Passo 4
Linearidade: Vamos verificar se a aplicação é linear em cada argumento. Isso significa que, para fixar um dos argumentos, a função deve ser linear no outro.
Por exemplo, para fixar
, temos:
Além disso, para qualquer escalar
:
O mesmo se aplica quando fixamos
e variamos
. Portanto, a linearidade é satisfeita.
Passo 5
Positividade: Precisamos mostrar que
e que
somente se
for a matriz nula.
Calculando
. A matriz
é uma matriz produto que sempre tem entradas não negativas na diagonal, pois cada elemento da diagonal é a soma dos quadrados das entradas correspondentes de
. Assim, o traço, que é a soma desses elementos, será sempre não negativo. Além disso,
somente se todas as entradas de
forem zero, ou seja,
é a matriz nula.
Resposta
A aplicação
é um produto interno no espaço vetorial
.
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Determinar uma base ortonormal para cada um dos subespaços vetorias
do espaço com produto interno
abaixo, utilizando o processo de Gram-Schmidt.
com o produto interno usual,
.
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Determine as equações dareta que passa por