Determinar uma base ortonormal para cada um dos subespaços vetorias
do espaço com produto interno
abaixo, utilizando o processo de Gram-Schmidt.
com o produto interno usual,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar uma base ortonormal para o subespaço
de
usando o processo de Gram-Schmidt. Pra isso, vamos precisar entender o que é base ortonormal, subespaço vetorial, e como aplicar o processo de Gram-Schmidt passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são todos unitários (tem comprimento 1) e são mutuamente ortogonais (formam ângulos de 90 graus entre si). Para encontrar essa base, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que transforma um conjunto de vetores qualquer em um conjunto de vetores ortogonais e, depois, normalizá-los.
Passo 3
Vamos começar com os vetores que geram o subespaço
:
Passo 4
Passo 1 do Gram-Schmidt: Selecionamos
como nosso primeiro vetor ortogonal:
Agora, vamos normalizar
para obter o primeiro vetor da base ortonormal:
Então,
Passo 5
Passo 2 do Gram-Schmidt: Agora, vamos ortogonalizar
em relação a
:
A projeção de
sobre
é:
Então,
Agora, normalizamos
:
Então,
Passo 6
Passo 3 do Gram-Schmidt: Finalmente, vamos ortogonalizar
em relação a
e
:
Calculando as projeções:
Portanto,
Normalizamos
:
Então,
Resposta
A base ortonormal para o subespaço
é:
Exercícios relacionados
Verifique se é possível escrever o vetor
como combinação linear dos outros vetores dados:
.
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação
,
é um produto interno no espaço vetorial
.
e
.
Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação
,
é um produto interno no espaço vetorial
.
e
, em que
é o traço de
.