Determinar uma base ortonormal para cada um dos subespaços vetorias W do espaço com produto interno V abaixo, utilizando o processo de Gram-Schmidt.
V=R^3 com o produto interno usual, W=[(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar uma base ortonormal para o subespaço W de R^3 usando o processo de Gram-Schmidt. Pra isso, vamos precisar entender o que é base ortonormal, subespaço vetorial, e como aplicar o processo de Gram-Schmidt passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são todos unitários (tem comprimento 1) e são mutuamente ortogonais (formam ângulos de 90 graus entre si). Para encontrar essa base, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que transforma um conjunto de vetores qualquer em um conjunto de vetores ortogonais e, depois, normalizá-los.

Passo 3

Vamos começar com os vetores que geram o subespaço W:
v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1)

Passo 4

Passo 1 do Gram-Schmidt: Selecionamos v1 como nosso primeiro vetor ortogonal:
u1 = v1 = (1, 0, 0)
Agora, vamos normalizar u1 para obter o primeiro vetor da base ortonormal:
|u1| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = 1
Então,
e1 = u1|u1| = (1, 0, 0)

Passo 5

Passo 2 do Gram-Schmidt: Agora, vamos ortogonalizar v2 em relação a u1:
u2 = v2 - proju1 v2
A projeção de v2 sobre u1 é:
proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 = ( 11 ) (1, 0, 0) = (1, 0, 0)
Então,
u2 = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0)
Agora, normalizamos u2:
|u2| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 1
Então,
e2 = u2|u2| = (0, 1, 0)

Passo 6

Passo 3 do Gram-Schmidt: Finalmente, vamos ortogonalizar v3 em relação a u1 e u2:
u3 = v3 - proju1 v3 - proju2 v3
Calculando as projeções:
proju1 v3 = ( v3 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 = ( 01 ) (1, 0, 0) = (0, 0, 0)
proju2 v3 = ( v3 cdot u2u2 cdot u2 ) u2 = ( 01 ) (0, 1, 0) = (0, 0, 0)
Portanto,
u3 = (0, 0, 1) - (0, 0, 0) - (0, 0, 0) = (0, 0, 1)
Normalizamos u3:
|u3| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1
Então,
e3 = u3|u3| = (0, 0, 1)

Resposta

A base ortonormal para o subespaço W é:
, (1,,0,;0),; (0,,1,;0),; (0,,0,;1) ,

Exercícios relacionados

Verifique se é possível escrever o vetor v como combinação linear dos outros vetores dados:
v=(3,4), v1=(1,2), v2=(2,4).
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação lang<=, rang<= é um produto interno no espaço vetorial V.
V=R^4, u=(x1, y1, z1, t1), v=(x2, y2, z2, t2) e lang<= u, vrang<==x1 x2+y1 y2+z1 z2-t1 t2.
Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
(1,0,0),(1,1,1),(2,2,2)
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação lang<=, rang<= é um produto interno no espaço vetorial V.
V=M2 times 2(R), A, B in M2 times 2(R) e lang<= A, Brang<==tr(A^t B), em que tr(A)=sumi=1^n ai i, forall A in Mn times n(R) é o traço de A.