Verifique se é possível escrever o vetor v como combinação linear dos outros vetores dados:
v=(3,4), v1=(1,2), v2=(2,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se dá para escrever o vetor v = (3, 4) como uma combinação linear dos vetores v1 = (1, 2) e v2 = (2, 4). Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares e sistemas de equações. Vamos precisar usar equações lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar números (coeficientes) que, multiplicados pelos vetores dados e somados, resultem no vetor v. Então, buscamos números a e b tais que:
a cdot v1 + b cdot v2 = v

Passo 3

Substituindo os vetores na equação, temos:
a cdot (1, 2) + b cdot (2, 4) = (3, 4)
Isso dá duas equações:
1a + 2b = 3 (1ª componente) ª
2a + 4b = 4 (2ª componente) ª

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 2:
a + 2b = 2
Então, temos:
  1. a + 2b = 3
  2. a + 2b = 2

Passo 5

Observando as duas equações simplificadas:
  • A primeira diz que a + 2b = 3
  • A segunda diz que a + 2b = 2
Isso é impossível de acontecer ao mesmo tempo, pois 3 neq 2.

Passo 6

Como as equações resultam em uma contradição, não existe solução para a e b que satisfaça ambas as equações simultaneamente.

Resposta

Não é possível escrever o vetor v = (3, 4) como combinação linear dos vetores v1 = (1, 2) e v2 = (2, 4).

Exercícios relacionados

Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação lang<=, rang<= é um produto interno no espaço vetorial V.
V=R^4, u=(x1, y1, z1, t1), v=(x2, y2, z2, t2) e lang<= u, vrang<==x1 x2+y1 y2+z1 z2-t1 t2.
Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
b) Se |u|=|v|, então u=v.
Determinar uma base ortonormal para cada um dos subespaços vetorias W do espaço com produto interno V abaixo, utilizando o processo de Gram-Schmidt.
V=R^3 com o produto interno usual, W=[(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1)].
Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros:
(1,0,0),(1,1,1),(2,2,2)