Verifique se é possível escrever o vetor
como combinação linear dos outros vetores dados:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se dá para escrever o vetor
como uma combinação linear dos vetores
e
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares e sistemas de equações. Vamos precisar usar equações lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Basicamente, queremos encontrar números (coeficientes) que, multiplicados pelos vetores dados e somados, resultem no vetor
. Então, buscamos números
e
tais que:
Passo 3
Substituindo os vetores na equação, temos:
Isso dá duas equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 2:
Então, temos:
Passo 5
Observando as duas equações simplificadas:
- A primeira diz que
- A segunda diz que
Isso é impossível de acontecer ao mesmo tempo, pois
.
Passo 6
Como as equações resultam em uma contradição, não existe solução para
e
que satisfaça ambas as equações simultaneamente.
Resposta
Não é possível escrever o vetor
como combinação linear dos vetores
e
.
Exercícios relacionados
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação
,
é um produto interno no espaço vetorial
.
e
.
Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
b) Se , então
.
b) Se
Determinar uma base ortonormal para cada um dos subespaços vetorias
do espaço com produto interno
abaixo, utilizando o processo de Gram-Schmidt.
com o produto interno usual,
.
Nos casos abaixo decida se o conjunto de vetores apresentado é LI ou LD; no caso LD, escreva explicitamente um dos vetores como combinação linear dos outros: