Considere munido do produto interno usual e . Encontrar uma base ortogonal de tal que .
Resposta: Uma delas é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma base ortogonal do espaço vetorial que inclua o vetor . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente espaços vetoriais, produtos internos e bases ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir bases ortogonais usando o processo de Gram-Schmidt.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base ortogonal é um conjunto de vetores que são todos mutuamente perpendiculares entre si e não nulos. No nosso caso, queremos uma base com três vetores em . O vetor dado é . Precisamos encontrar mais dois vetores que sejam ortogonais a esse e entre si.
Passo 3
Vamos começar escolhendo um vetor que seja linearmente independente do vetor dado. Um jeito simples é escolher um vetor que não seja múltiplo do primeiro. Por exemplo, podemos escolher .
Passo 4
Agora, precisamos garantir que o segundo vetor seja ortogonal ao primeiro. Para isso, usamos o produto interno padrão em :
Vamos calcular:
Como o produto interno é zero, os vetores são ortogonais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o terceiro vetor que seja ortogonal tanto ao primeiro quanto ao segundo vetor. Podemos usar o produto vetorial para isso, já que o produto vetorial de dois vetores em resulta em um vetor ortogonal a ambos.
Vamos calcular o produto vetorial de e :
= i(0 + 2) - j(0 + 2) + k(1 + 1) = (2, -2, 2)
Para simplificar, podemos dividir por 2:
v3 = (1, -1, 1)
Resposta
Assim, uma base ortogonal de R^3 que inclui o vetor (1, -1, -2) é: