Considere V=R^3 munido do produto interno usual e A=(1,-1,-2) subset V. Encontrar uma base ortogonal B de V tal que A subset B.
Resposta: Uma delas é: (1,-1,-2),(1,1,0),(-1,1,-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma base ortogonal do espaço vetorial R^3 que inclua o vetor (1, -1, -2). Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente espaços vetoriais, produtos internos e bases ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir bases ortogonais usando o processo de Gram-Schmidt.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base ortogonal é um conjunto de vetores que são todos mutuamente perpendiculares entre si e não nulos. No nosso caso, queremos uma base com três vetores em R^3. O vetor dado é (1, -1, -2). Precisamos encontrar mais dois vetores que sejam ortogonais a esse e entre si.

Passo 3

Vamos começar escolhendo um vetor que seja linearmente independente do vetor dado. Um jeito simples é escolher um vetor que não seja múltiplo do primeiro. Por exemplo, podemos escolher (1, 1, 0).

Passo 4

Agora, precisamos garantir que o segundo vetor seja ortogonal ao primeiro. Para isso, usamos o produto interno padrão em R^3:
lang<= u, v rang<= = u1v1 + u2v2 + u3v3
Vamos calcular:
lang<= (1, -1, -2), (1, 1, 0) rang<= = (1)(1) + (-1)(1) + (-2)(0) = 1 - 1 + 0 = 0
Como o produto interno é zero, os vetores são ortogonais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o terceiro vetor que seja ortogonal tanto ao primeiro quanto ao segundo vetor. Podemos usar o produto vetorial para isso, já que o produto vetorial de dois vetores em R^3 resulta em um vetor ortogonal a ambos.
Vamos calcular o produto vetorial de (1, -1, -2) e (1, 1, 0):
v3 = i & j & k 1 & -1 & -2 1 & 1 & 0 = i( (-1)(0) - (-2)(1) ) - j( (1)(0) - (-2)(1) ) + k( (1)(1) - (-1)(1) )
= i(0 + 2) - j(0 + 2) + k(1 + 1) = (2, -2, 2)
Para simplificar, podemos dividir por 2:
v3 = (1, -1, 1)

Resposta

Assim, uma base ortogonal de R^3 que inclui o vetor (1, -1, -2) é:
, (1, -1, -2), (1, 1, 0), (-1, 1, -1) ,

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