Nos casos abaixo, determine A^-1, utilizando operações elementares, se esta existir.
(a) (lll2 & 1 & 3 4 & 2 & 2 2 & 5 & 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz inversa de , se ela existir. A matéria que vamos usar aqui é sobre matrizes e operações elementares. Para isso, vamos usar o método de matrizes aumentadas, onde aplicamos operações nas linhas para transformar a matriz original na identidade e, ao mesmo tempo, obter a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz [ccc|ccc 2 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 4 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 2 & 5 & 2 & 0 & 0 & 1 ] e juntá-la com a matriz identidade para formar a matriz aumentada :

Passo 3

O objetivo é transformar a parte esquerda ( R1 = 12 R1 ) em uma matriz identidade usando operações nas linhas. Vamos começar tornando o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Para isso, vamos dividir a primeira linha por 2:
[ccc|ccc 1 & 0.5 & 1.5 & 0.5 & 0 & 0 4 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 2 & 5 & 2 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, queremos zero abaixo do 1 na primeira coluna. Vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira linha.
Para a segunda linha ( R2 = R2 - 4 times R1 ):
R2 = [4 - 4(1), 2 - 4(0.5), 2 - 4(1.5) | 0 - 4(0.5), 1 - 4(0), 0 - 4(0)] = [0, 0, -4 | -2, 1, 0]
R3 = R3 - 2 times R1
Para a terceira linha ( R3 = [2 - 2(1), 5 - 2(0.5), 2 - 2(1.5) | 0 - 2(0.5), 0 - 2(0), 1 - 2(0)] = [0, 4, -1 | -1, 0, 1] ):
[ccc|ccc 1 & 0.5 & 1.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 0 & -4 & -2 & 1 & 0 0 & 4 & -1 & -1 & 0 & 1 ]
Agora, a matriz fica assim:

Passo 5

Vamos agora focar na segunda coluna para obter um 1 na posição (2,2). Porém, observamos que a segunda linha tem 0 na segunda posição. Então, vamos trocar a segunda linha com a terceira linha para facilitar:
R2 rightarrow R3
[ccc|ccc 1 & 0.5 & 1.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 4 & -1 & -1 & 0 & 1 0 & 0 & -4 & -2 & 1 & 0 ]

Passo 6

Agora, vamos transformar o 4 na posição (2,2) em 1, dividindo a segunda linha por 4:
R2 = 14 R2
[ccc|ccc 1 & 0.5 & 1.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1 & -0.25 & -0.25 & 0 & 0.25 0 & 0 & -4 & -2 & 1 & 0 ]

Passo 7

Vamos eliminar o 0.5 acima do 1 na segunda coluna. Para isso, vamos usar a segunda linha para zerar esse valor na primeira linha:
R1 = R1 - 0.5 times R2
Calculando:
R1 = [1 - 0.5(0), 0.5 - 0.5(1), 1.5 - 0.5(-0.25) | 0.5 - 0.5(-0.25), 0 - 0.5(0), 0 - 0.5(0.25)]
R1 = [1, 0, 1.5 + 0.125 | 0.5 + 0.125, 0, -0.125] = [1, 0, 1.625 | 0.625, 0, -0.125]
Matriz agora:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1.625 & 0.625 & 0 & -0.125 0 & 1 & -0.25 & -0.25 & 0 & 0.25 0 & 0 & -4 & -2 & 1 & 0 ]

Passo 8

Vamos agora trabalhar na terceira coluna para obter um 1 na posição (3,3). Primeiro, multiplicamos a terceira linha por R3 = -14 R3 :
R3 = [0, 0, 1 | 0.5, -0.25, 0]
[ccc|ccc 1 & 0 & 1.625 & 0.625 & 0 & -0.125 0 & 1 & -0.25 & -0.25 & 0 & 0.25 0 & 0 & 1 & 0.5 & -0.25 & 0 ]
Matriz atualizada:

Passo 9

Agora, vamos eliminar os valores acima do 1 na terceira coluna.
Para a segunda linha ( R2 = R2 + 0.25 times R3 ):
R2 = [0, 1, 0 | -0.25 + 0.25(0.5), 0 + 0.25(-0.25), 0.25 + 0.25(0)] = [0, 1, 0 | -0.125, -0.0625, 0.25]
R1 = R1 - 1.625 times R3
Para a primeira linha ( R1 = [1, 0, 0 | 0.625 - 1.625(0.5), 0 - 1.625(-0.25), -0.125 - 1.625(0)] ):
0.625 - 0.8125 = -0.1875
0 + 0.40625 = 0.40625
Calculando:
-0.125 - 0 = -0.125
R1 = [1, 0, 0 | -0.1875, 0.40625, -0.125]
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -0.1875 & 0.40625 & -0.125 0 & 1 & 0 & -0.125 & -0.0625 & 0.25 0 & 0 & 1 & 0.5 & -0.25 & 0 ]
Então:
Matriz agora:

Passo 10

Pronto! A parte da esquerda agora é a matriz identidade. Então, a parte da direita é a matriz inversa A^-1 = (ccc -0.1875 & 0.40625 & -0.125 -0.125 & -0.0625 & 0.25 0.5 & -0.25 & 0 ) :

Resposta

A matriz inversa A^-1 = (ccc -316 & 1332 & -18 -18 & -116 & 14 12 & -14 & 0 ) é:

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