Nos casos abaixo, determine , utilizando operações elementares, se esta existir.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz inversa de , se ela existir. A matéria que vamos usar aqui é sobre matrizes e operações elementares. Para isso, vamos usar o método de matrizes aumentadas, onde aplicamos operações nas linhas para transformar a matriz original na identidade e, ao mesmo tempo, obter a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz e juntá-la com a matriz identidade para formar a matriz aumentada :

Passo 3

O objetivo é transformar a parte esquerda ( ) em uma matriz identidade usando operações nas linhas. Vamos começar tornando o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Para isso, vamos dividir a primeira linha por 2:

Passo 4

Agora, queremos zero abaixo do 1 na primeira coluna. Vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira linha.
Para a segunda linha ( ):
Para a terceira linha ( ):
Agora, a matriz fica assim:

Passo 5

Vamos agora focar na segunda coluna para obter um 1 na posição (2,2). Porém, observamos que a segunda linha tem 0 na segunda posição. Então, vamos trocar a segunda linha com a terceira linha para facilitar:

Passo 6

Agora, vamos transformar o 4 na posição (2,2) em 1, dividindo a segunda linha por 4:

Passo 7

Vamos eliminar o 0.5 acima do 1 na segunda coluna. Para isso, vamos usar a segunda linha para zerar esse valor na primeira linha:
Calculando:
Matriz agora:

Passo 8

Vamos agora trabalhar na terceira coluna para obter um 1 na posição (3,3). Primeiro, multiplicamos a terceira linha por :
Matriz atualizada:

Passo 9

Agora, vamos eliminar os valores acima do 1 na terceira coluna.
Para a segunda linha ( ):
Para a primeira linha ( ):
Calculando:
Então:
Matriz agora:

Passo 10

Pronto! A parte da esquerda agora é a matriz identidade. Então, a parte da direita é a matriz inversa :

Resposta

A matriz inversa é:

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