Se
é uma matriz
tal que
, explique por que o sistema linear
é consistente seja qual for o lado direito
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre matrizes e sistemas lineares. A gente vai trabalhar com matemática linear, focando em sistemas de equações lineares. Precisamos entender o que significa o posto (ou rank) de uma matriz e como isso afeta a consistência de um sistema linear. No caso, temos uma matriz
de tamanho
com
, e queremos mostrar que o sistema
sempre tem solução, independente de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o posto (rank) de uma matriz. O posto de
,
, é o número máximo de colunas linearmente independentes de
. Também é igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada de
.
Passo 3
Agora, sabemos que
. Isso quer dizer que todas as
linhas da matriz
são linearmente independentes. Portanto, não há linhas redundantes ou combinações lineares de outras linhas.
Passo 4
Para um sistema linear
ser consistente, precisa ter pelo menos uma solução. Uma condição para isso é que o vetor
esteja no espaço coluna de
. O espaço coluna de
é formado por todas as combinações lineares das colunas de
.
Passo 5
Como
, o espaço coluna de
é todo o espaço
(ou o campo de números que estivermos usando). Isso significa que qualquer vetor
em
pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de
.
Passo 6
Portanto, para qualquer
, existe pelo menos uma solução
tal que
. Isso garante que o sistema é sempre consistente.
Resposta
O sistema linear
é consistente para qualquer vetor
porque o posto de
igual a
garante que o espaço coluna de
cobre todo o espaço
, permitindo que sempre haja uma solução.