Se é uma matriz tal que , explique por que o sistema linear é consistente seja qual for o lado direito .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre matrizes e sistemas lineares. A gente vai trabalhar com matemática linear, focando em sistemas de equações lineares. Precisamos entender o que significa o posto (ou rank) de uma matriz e como isso afeta a consistência de um sistema linear. No caso, temos uma matriz de tamanho com , e queremos mostrar que o sistema sempre tem solução, independente de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o posto (rank) de uma matriz. O posto de , , é o número máximo de colunas linearmente independentes de . Também é igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada de .
Passo 3
Agora, sabemos que . Isso quer dizer que todas as linhas da matriz são linearmente independentes. Portanto, não há linhas redundantes ou combinações lineares de outras linhas.
Passo 4
Para um sistema linear ser consistente, precisa ter pelo menos uma solução. Uma condição para isso é que o vetor esteja no espaço coluna de . O espaço coluna de é formado por todas as combinações lineares das colunas de .
Passo 5
Como , o espaço coluna de é todo o espaço (ou o campo de números que estivermos usando). Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de .
Passo 6
Portanto, para qualquer , existe pelo menos uma solução tal que . Isso garante que o sistema é sempre consistente.
Resposta
O sistema linear é consistente para qualquer vetor porque o posto de igual a garante que o espaço coluna de cobre todo o espaço , permitindo que sempre haja uma solução.