Se é uma matriz tal que , explique por que o sistema linear é consistente seja qual for o lado direito .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre matrizes e sistemas lineares. A gente vai trabalhar com matemática linear, focando em sistemas de equações lineares. Precisamos entender o que significa o posto (ou rank) de uma matriz e como isso afeta a consistência de um sistema linear. No caso, temos uma matriz de tamanho com , e queremos mostrar que o sistema sempre tem solução, independente de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o posto (rank) de uma matriz. O posto de , , é o número máximo de colunas linearmente independentes de . Também é igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada de .

Passo 3

Agora, sabemos que . Isso quer dizer que todas as linhas da matriz são linearmente independentes. Portanto, não há linhas redundantes ou combinações lineares de outras linhas.

Passo 4

Para um sistema linear ser consistente, precisa ter pelo menos uma solução. Uma condição para isso é que o vetor esteja no espaço coluna de . O espaço coluna de é formado por todas as combinações lineares das colunas de .

Passo 5

Como , o espaço coluna de é todo o espaço (ou o campo de números que estivermos usando). Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de .

Passo 6

Portanto, para qualquer , existe pelo menos uma solução tal que . Isso garante que o sistema é sempre consistente.

Resposta

O sistema linear é consistente para qualquer vetor porque o posto de igual a garante que o espaço coluna de cobre todo o espaço , permitindo que sempre haja uma solução.

Exercícios relacionados

Calcular o produto interno dos vetores e segundo:
o produto interno usual do .
Resolver os sistemas abaixo pela Regra de Cramer
Nos casos abaixo, determine , utilizando operações elementares, se esta existir.
(a)