G(A)=(x, y, z) in R^3 / 10 x+3 y-z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que a gente tem é:
G(A)=(x, y, z) in R^3 mid 10x + 3y - z = 0
Isso significa que estamos lidando com um conjunto de pontos no espaço tridimensional que satisfazem a equação linear . O conteúdo principal aqui é Álgebra Linear, mais especificamente, o estudo de planos no espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar esse plano de forma parametrizada, ou seja, expressar , , e em termos de parâmetros livres.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a parametrização. A equação dada é:
10x + 3y - z = 0
Podemos resolver para uma das variáveis em termos das outras duas. Vamos escolher resolver para z = 10x + 3y :
Isso significa que, para qualquer valor de e , podemos encontrar um que satisfaça a equação.

Passo 3

Agora, vamos introduzir dois parâmetros livres. Geralmente, usamos x = s y = t e para isso. Vamos definir:
Onde e podem ser qualquer número real. Isso nos dá a flexibilidade para gerar todos os pontos no plano definido pela equação original.

Passo 4

Com z = 10s + 3t e (x, y, z) = ( s, t, 10s + 3t ) , já sabemos que:
Então, podemos expressar cada ponto no plano em termos de e :

Passo 5

Para deixar isso mais formal, podemos escrever isso como uma combinação linear dos parâmetros (x, y, z) = s cdot (1, 0, 10) + t cdot (0, 1, 3) e :
Isso mostra que qualquer ponto no plano pode ser obtido combinando os vetores e com os coeficientes e .

Resposta

Então, uma parametrização para (x, y, z) = s cdot (1, 0, 10) + t cdot (0, 1, 3) onde s, t in R é:

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