Seja o operador linear de definido por . Encontre a representação matricial de em relação à Base .
Passo 1
Beleza! Temos um operador linear em definido por . Queremos encontrar a matriz que representa em relação à base . Para isso, vamos precisar entender como transformar os vetores da base usando e expressá-los novamente na mesma base .
Passo 2
Primeiro, lembremos que para encontrar a matriz de na base , precisamos aplicar a cada vetor da base e expressar o resultado como uma combinação linear dos vetores da base. As colunas da matriz serão esses coeficientes das combinações lineares.
Passo 3
Vamos começar aplicando ao primeiro vetor da base :
Agora, queremos expressar como uma combinação linear dos vetores de :
Passo 4
Vamos montar as equações para encontrar , e :
Da terceira equação, temos . Substituindo na segunda equação: