Seja o operador linear de definido por . Encontre a representação matricial de em relação à Base .

Passo 1

Beleza! Temos um operador linear em definido por . Queremos encontrar a matriz que representa em relação à base . Para isso, vamos precisar entender como transformar os vetores da base usando e expressá-los novamente na mesma base .

Passo 2

Primeiro, lembremos que para encontrar a matriz de na base , precisamos aplicar a cada vetor da base e expressar o resultado como uma combinação linear dos vetores da base. As colunas da matriz serão esses coeficientes das combinações lineares.

Passo 3

Vamos começar aplicando ao primeiro vetor da base :
Agora, queremos expressar como uma combinação linear dos vetores de :

Passo 4

Vamos montar as equações para encontrar , e :
Da terceira equação, temos . Substituindo na segunda equação:
E na primeira equação:
Então, a combinação fica:

Passo 5

Agora, aplicamos ao segundo vetor da base :
Expressando como combinação linear de :
Montamos as equações:
Da terceira equação, . Substituindo na segunda:
E na primeira:
Então:

Passo 6

Por último, aplicamos ao terceiro vetor da base :
Expressando como combinação linear de :
Montamos as equações:
Da terceira equação, . Substituindo na segunda:
E na primeira:
Então:

Resposta

A matriz que representa o operador na base é:

Exercícios relacionados

Nos casos abaixo, determine , utilizando operações elementares, se esta existir.
(a)
Considere o operador linear definido por . Encontre os autovalores e autovetores de em relação à Base Canônica.
Dado o operador linear definido por . Encontre , onde é a Base Canônica de e .