Seja T o operador linear de R^3 definido por T(x, y, z)=(2 y+z, x-4 y, 3 x). Encontre a representação matricial de T em relação à Base gamma=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0).

Passo 1

Beleza! Temos um operador linear em definido por . Queremos encontrar a matriz que representa em relação à base . Para isso, vamos precisar entender como transformar os vetores da base usando e expressá-los novamente na mesma base .

Passo 2

Primeiro, lembremos que para encontrar a matriz de na base , precisamos aplicar a cada vetor da base e expressar o resultado como uma combinação linear dos vetores da base. As colunas da matriz serão esses coeficientes das combinações lineares.

Passo 3

Vamos começar aplicando T(1,1,1) = (2 cdot 1 + 1, 1 - 4 cdot 1, 3 cdot 1) = (3, -3, 3) ao primeiro vetor da base (3, -3, 3) = a(1,1,1) + b(1,1,0) + c(1,0,0) :
Agora, queremos expressar como uma combinação linear dos vetores de :

Passo 4

Vamos montar as equações para encontrar a + b + c = 3 &(x) a + b = -3 &(y) a = 3 &(z) , 3 + b = -3 Rightarrow b = -6 e 3 - 6 + c = 3 Rightarrow c = 6 :
(3, -3, 3) = 3(1,1,1) - 6(1,1,0) + 6(1,0,0)
Da terceira equação, temos . Substituindo na segunda equação:
E na primeira equação:
Então, a combinação fica:

Passo 5

Agora, aplicamos T(1,1,0) = (2 cdot 1 + 0, 1 - 4 cdot 1, 3 cdot 1) = (2, -3, 3) ao segundo vetor da base (2, -3, 3) = a(1,1,1) + b(1,1,0) + c(1,0,0) :
a + b + c = 2 &(x) a + b = -3 &(y) a = 3 &(z)
Expressando 3 + b = -3 Rightarrow b = -6 como combinação linear de 3 - 6 + c = 2 Rightarrow c = 5 :
(2, -3, 3) = 3(1,1,1) - 6(1,1,0) + 5(1,0,0)
Montamos as equações:
Da terceira equação, . Substituindo na segunda:
E na primeira:
Então:

Passo 6

Por último, aplicamos T(1,0,0) = (2 cdot 0 + 0, 1 - 4 cdot 0, 3 cdot 1) = (0, 1, 3) ao terceiro vetor da base (0, 1, 3) = a(1,1,1) + b(1,1,0) + c(1,0,0) :
a + b + c = 0 &(x) a + b = 1 &(y) a = 3 &(z)
Expressando 3 + b = 1 Rightarrow b = -2 como combinação linear de 3 - 2 + c = 0 Rightarrow c = -1 :
(0, 1, 3) = 3(1,1,1) - 2(1,1,0) - 1(1,0,0)
Montamos as equações:
Da terceira equação, . Substituindo na segunda:
E na primeira:
Então:

Resposta

A matriz que representa o operador [T]gamma = 3 & 3 & 3 -6 & -6 & -2 6 & 5 & -1 na base é:

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