Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas
. Faça um esboço.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos identificar que tipo de cônica ela representa. Para isso, vamos precisar conhecer as diferentes formas das cônicas (círculo, elipse, parábola e hipérbole) e saber como transformar a equação geral em uma forma reduzida através de mudanças de coordenadas. Também vamos determinar pontos importantes como focos, vértices, assíntotas (se houver) e retas diretrizes (se houver).
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a análise:
Subtraindo 9 de ambos os lados:
Simplificando:
Passo 3
Observamos que temos termos mistos
, o que sugere que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, vamos realizar uma rotação das coordenadas para eliminar o termo
. A rotação de coordenadas é dada pelas transformações:
Nosso objetivo é encontrar o ângulo
que elimina o termo
.
Passo 4
Para eliminar o termo
, usamos a fórmula:
Onde
,
e
(coeficientes da equação geral
).
Substituindo:
Isso implica que
ou
.
Passo 5
Agora, aplicamos a rotação com
. As transformações ficam:
Vamos substituir
e
na equação original:
Passo 6
Simplificando os termos:
Primeiro, calculamos os quadrados:
Agora, o termo cruzado:
E os termos lineares:
Juntando tudo:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar a equação:
Isolando
:
Simplificando:
Esta é a equação de uma parábola na coordenada rotacionada
.
Passo 8
Como a equação resultante é do segundo grau em
e de primeiro grau em
, isso confirma que a cônica é uma parábola. Agora, podemos identificar as características da parábola na nova coordenada
.
A forma padrão de uma parábola vertical é:
Onde:
- O vértice está em
- A abertura depende do sinal de
(para baixo se )
No nosso caso:
Calculando o vértice:
Passo 9
Agora, encontramos o vértice na coordenada rotacionada
. Para encontrar as coordenadas no sistema original
, usamos as transformações inversas:
Com
:
Substituindo
e
:
Multiplicando as duas equações por
:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 10
Agora que temos o vértice no sistema original
, podemos determinar o foco da parábola. Sabemos que em uma parábola
, a distância do vértice ao foco é
.
No nosso caso,
, então:
Como o valor é negativo, o foco está abaixo do vértice (já que a parábola abre para baixo).
Então, as coordenadas do foco no sistema rotacionado
são:
Agora, aplicamos as transformações inversas para obter as coordenadas no sistema original
:
Substituindo
e
:
Passo 11
Resumindo, identificamos que a cônica representada pela equação
é uma parábola. Realizamos uma rotação das coordenadas para eliminar o termo
e obter a forma reduzida da parábola. Determinamos o vértice em
e o foco em
. Como a parábola abre para baixo, não há assíntotas nem retas diretrizes além da própria diretiz fornecida pela definição da parábola.
Resposta
A equação
representa uma parábola após uma rotação das coordenadas. No sistema original
, o vértice da parábola está em
e o foco está em
. A parábola abre para baixo, e não possui assíntotas nem retas diretrizes adicionais além da característica da forma padrão da parábola.