Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
© .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos identificar que tipo de cônica ela representa. Para isso, vamos precisar conhecer as diferentes formas das cônicas (círculo, elipse, parábola e hipérbole) e saber como transformar a equação geral em uma forma reduzida através de mudanças de coordenadas. Também vamos determinar pontos importantes como focos, vértices, assíntotas (se houver) e retas diretrizes (se houver).

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a análise:
Subtraindo 9 de ambos os lados:
Simplificando:

Passo 3

Observamos que temos termos mistos , o que sugere que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, vamos realizar uma rotação das coordenadas para eliminar o termo . A rotação de coordenadas é dada pelas transformações:
Nosso objetivo é encontrar o ângulo que elimina o termo .

Passo 4

Para eliminar o termo , usamos a fórmula:
Onde , e (coeficientes da equação geral ).
Substituindo:
Isso implica que ou .

Passo 5

Agora, aplicamos a rotação com . As transformações ficam:
Vamos substituir e na equação original:

Passo 6

Simplificando os termos:
Primeiro, calculamos os quadrados:
Agora, o termo cruzado:
E os termos lineares:
Juntando tudo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos reorganizar a equação:
Isolando :
Simplificando:
Esta é a equação de uma parábola na coordenada rotacionada .

Passo 8

Como a equação resultante é do segundo grau em e de primeiro grau em , isso confirma que a cônica é uma parábola. Agora, podemos identificar as características da parábola na nova coordenada .
A forma padrão de uma parábola vertical é:
Onde:
  • O vértice está em
  • A abertura depende do sinal de (para baixo se )
No nosso caso:
Calculando o vértice:

Passo 9

Agora, encontramos o vértice na coordenada rotacionada . Para encontrar as coordenadas no sistema original , usamos as transformações inversas:
Com :
Substituindo e :
Multiplicando as duas equações por :
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 10

Agora que temos o vértice no sistema original , podemos determinar o foco da parábola. Sabemos que em uma parábola , a distância do vértice ao foco é .
No nosso caso, , então:
â
Como o valor é negativo, o foco está abaixo do vértice (já que a parábola abre para baixo).
Então, as coordenadas do foco no sistema rotacionado são:
â
Agora, aplicamos as transformações inversas para obter as coordenadas no sistema original :
Substituindo e :

Passo 11

Resumindo, identificamos que a cônica representada pela equação é uma parábola. Realizamos uma rotação das coordenadas para eliminar o termo e obter a forma reduzida da parábola. Determinamos o vértice em e o foco em . Como a parábola abre para baixo, não há assíntotas nem retas diretrizes além da própria diretiz fornecida pela definição da parábola.

Resposta

A equação representa uma parábola após uma rotação das coordenadas. No sistema original , o vértice da parábola está em e o foco está em . A parábola abre para baixo, e não possui assíntotas nem retas diretrizes adicionais além da característica da forma padrão da parábola.

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