Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas x y. Faça um esboço.
© x^2+y^2+2 x y+2 x+4 y+2=9.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos identificar que tipo de cônica ela representa. Para isso, vamos precisar conhecer as diferentes formas das cônicas (círculo, elipse, parábola e hipérbole) e saber como transformar a equação geral em uma forma reduzida através de mudanças de coordenadas. Também vamos determinar pontos importantes como focos, vértices, assíntotas (se houver) e retas diretrizes (se houver).

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a análise:
x^2 + y^2 + 2xy + 2x + 4y + 2 = 9
Subtraindo 9 de ambos os lados:
x^2 + y^2 + 2xy + 2x + 4y + 2 - 9 = 0
Simplificando:
x^2 + y^2 + 2xy + 2x + 4y - 7 = 0

Passo 3

Observamos que temos termos mistos x = x'costheta - y'sintheta , o que sugere que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, vamos realizar uma rotação das coordenadas para eliminar o termo y = x'sintheta + y'costheta . A rotação de coordenadas é dada pelas transformações:
Nosso objetivo é encontrar o ângulo que elimina o termo .

Passo 4

Para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C , usamos a fórmula:
tan(2theta) = 21 - 1 = 20
Onde , e (coeficientes da equação geral ).
Substituindo:
Isso implica que ou .

Passo 5

Agora, aplicamos a rotação com x = raiz22x' - raiz22y' . As transformações ficam:
y = raiz22x' + raiz22y'
(raiz22x' - raiz22y')^2 + (raiz22x' + raiz22y')^2 + 2(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') + 2(raiz22x' - raiz22y') + 4(raiz22x' + raiz22y') - 7 = 0
Vamos substituir e na equação original:

Passo 6

Simplificando os termos:
Primeiro, calculamos os quadrados:
(raiz22x' - raiz22y')^2 = 24x'^2 - 24x'y' + 24y'^2 = 12x'^2 - 12x'y' + 12y'^2
(raiz22x' + raiz22y')^2 = 24x'^2 + 24x'y' + 24y'^2 = 12x'^2 + 12x'y' + 12y'^2
Agora, o termo cruzado:
2(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') = 2(24x'^2 - 24y'^2) = x'^2 - y'^2
E os termos lineares:
2(raiz22x' - raiz22y') = raiz2x' - raiz2y'
4(raiz22x' + raiz22y') = 2raiz2x' + 2raiz2y'
Juntando tudo:
(12x'^2 - 12x'y' + 12y'^2) + (12x'^2 + 12x'y' + 12y'^2) + (x'^2 - y'^2) + (raiz2x' - raiz2y') + (2raiz2x' + 2raiz2y') - 7 = 0
Simplificando:
x'^2 + y'^2 + x'^2 - y'^2 + (3raiz2x' + raiz2y') - 7 = 0
2x'^2 + 3raiz2x' + raiz2y' - 7 = 0

Passo 7

Agora, vamos reorganizar a equação:
2x'^2 + 3raiz2x' + raiz2y' - 7 = 0
Isolando raiz2y' = -2x'^2 - 3raiz2x' + 7 :
y' = -2x'^2 - 3raiz2x' + 7raiz2
y' = -raiz2x'^2 - 3x' + 7raiz2
Simplificando:
Esta é a equação de uma parábola na coordenada rotacionada .

Passo 8

Como a equação resultante é do segundo grau em y' = ax'^2 + bx' + c e de primeiro grau em a = -raiz2 , isso confirma que a cônica é uma parábola. Agora, podemos identificar as características da parábola na nova coordenada b = -3 .
A forma padrão de uma parábola vertical é:
c = 7raiz2
Onde:
  • O vértice está em x'v = -b2a = --32(-raiz2) = 32raiz2
  • A abertura depende do sinal de y'v = c - b^24a = 7raiz2 - 94(-raiz2) = 7raiz2 + 94raiz2 = 28 + 94raiz2 = 374raiz2 (para baixo se )
No nosso caso:
Calculando o vértice:

Passo 9

Agora, encontramos o vértice na coordenada rotacionada x' = xcostheta + ysintheta . Para encontrar as coordenadas no sistema original y' = -xsintheta + ycostheta , usamos as transformações inversas:
x' = raiz22x + raiz22y
y' = -raiz22x + raiz22y
Com raiz22xv + raiz22yv = 32raiz2 :
-raiz22xv + raiz22yv = 374raiz2
xv + yv = 32
Substituindo -xv + yv = 374 e 2yv = 32 + 374 = 6 + 374 = 434 :
yv = 438
xv + 438 = 32
Multiplicando as duas equações por xv = 32 - 438 = 12 - 438 = -318 :
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Passo 10

Agora que temos o vértice no sistema original Distância = 14(-raiz2) = -14raiz2 , podemos determinar o foco da parábola. Sabemos que em uma parábola y'foco = y'v + Distância = 374raiz2 - 14raiz2 = 364raiz2 = 9raiz2 , a distância do vértice ao foco é xfoco = raiz22x'foco - raiz22y'foco .
No nosso caso, yfoco = raiz22x'foco + raiz22y'foco , então:
xfoco = raiz22(32raiz2) - raiz22(9raiz2) = 34 - 92 = -154 â
Como o valor é negativo, o foco está abaixo do vértice (já que a parábola abre para baixo).
Então, as coordenadas do foco no sistema rotacionado yfoco = raiz22(32raiz2) + raiz22(9raiz2) = 34 + 92 = 214 são:
â
Agora, aplicamos as transformações inversas para obter as coordenadas no sistema original :
Substituindo e :

Passo 11

Resumindo, identificamos que a cônica representada pela equação é uma parábola. Realizamos uma rotação das coordenadas para eliminar o termo e obter a forma reduzida da parábola. Determinamos o vértice em e o foco em . Como a parábola abre para baixo, não há assíntotas nem retas diretrizes além da própria diretiz fornecida pela definição da parábola.

Resposta

A equação representa uma parábola após uma rotação das coordenadas. No sistema original , o vértice da parábola está em e o foco está em . A parábola abre para baixo, e não possui assíntotas nem retas diretrizes adicionais além da característica da forma padrão da parábola.

Exercícios relacionados