Determine o raio de convergência de cada uma das séries.

Passo 1

Então, temos que determinar o raio de convergência da série . Vamos usar conceitos de análise de séries de potências para encontrar até onde essa série converge quando variamos o valor de . Para isso, precisaremos aplicar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que ajudam a calcular esse raio.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a análise. Observamos que é o coeficiente de . Para encontrar o raio de convergência, vamos focar no termo geral da série sem os fatores alternados e constantes, ou seja, .

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Raiz, que é útil para séries de potências. Esse teste diz que o raio de convergência pode ser encontrado usando:
onde é o coeficiente de . No nosso caso, .

Passo 4

Vamos calcular :
Sabemos que tem um módulo fixo, então tende a 1 conforme cresce. Além disso, também tende a 1 quando vai para o infinito.

Passo 5

Portanto, o limite fica:
Então, temos , o que implica que .

Resposta

O raio de convergência da série é .

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Considere a cônica cuja equação no plano é dada por
© Esboce a curva no sistema de coordenadas .
Considere a transformação linear definida por
© é um isomorfismo? Justifique.
Nos casos abaixo identifique a cônica representada pela equação, determinando mudanças de coordenadas apropriadas para colocá-las na forma reduzida. Determine as coordenadas dos focos e vértices, as equações das assíntotas (quando houver), das retas diretrizes (quando houver) em relação ao sistema de coordenadas . Faça um esboço.
© .
Determine se as seguintes matrizes são invertiveis e, caso forem, calcule sua inversa.