Determine o raio de convergência de cada uma das séries.
sumn=0^infty (-1)^n+1raiz3 i n z^n

Passo 1

Então, temos que determinar o raio de convergência da série . Vamos usar conceitos de análise de séries de potências para encontrar até onde essa série converge quando variamos o valor de . Para isso, precisaremos aplicar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que ajudam a calcular esse raio.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a análise. Observamos que é o coeficiente de . Para encontrar o raio de convergência, vamos focar no termo geral da série sem os fatores alternados e constantes, ou seja, .

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Raiz, que é útil para séries de potências. Esse teste diz que o raio de convergência 1R = limsupn to infty raiz[n]|an| pode ser encontrado usando:
onde é o coeficiente de . No nosso caso, .

Passo 4

Vamos calcular raiz[n]| (-1)^n+1raiz3 i , n | = raiz[n]1|raiz3 i| , n = 1raiz[n]|raiz3 i| cdot raiz[n]n :
Sabemos que tem um módulo fixo, então tende a 1 conforme cresce. Além disso, também tende a 1 quando vai para o infinito.

Passo 5

Portanto, o limite fica:
limn to infty 11 cdot 1 = 1
Então, temos , o que implica que .

Resposta

O raio de convergência da série é .

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