Determine o raio de convergência de cada uma das séries.
Passo 1
Então, temos que determinar o raio de convergência da série . Vamos usar conceitos de análise de séries de potências para encontrar até onde essa série converge quando variamos o valor de . Para isso, precisaremos aplicar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz, que ajudam a calcular esse raio.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar a análise. Observamos que é o coeficiente de . Para encontrar o raio de convergência, vamos focar no termo geral da série sem os fatores alternados e constantes, ou seja, .
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Raiz, que é útil para séries de potências. Esse teste diz que o raio de convergência pode ser encontrado usando:
onde é o coeficiente de . No nosso caso, .
Passo 4
Vamos calcular :
Sabemos que tem um módulo fixo, então tende a 1 conforme cresce. Além disso, também tende a 1 quando vai para o infinito.